Verificar mi respuesta: probar que cada conjunto abierto en $\Bbb R^n$ es la Unión contable de intervalo abierto

Question

Tengo una pregunta. Lo solucioné esto. ¿Pero por favor, se puede ver mi pregunta? Gracias.

Si hay cualquier error o falta o y así sucesivamente, por favor me diga. Esto es importante para mí. ¿Y es esta prueba suficiente para obtener grado de éxito de un examen?

Por cierto, subrayé la pregunta con el lápiz rosa.

Answer 1

Hay dos problemas con su argumento. La primera es cuando usted tiene

$$V\subseteq\bigcup_{x\in A_0}B_{\epsilon_x}(x)\;,\tag{1}$$

donde $A_0$ es una contables subconjunto de $X$, y decir que $A_0=\Bbb N$. $A_0$ es no $\Bbb N$: es un subconjunto de a $X$. Si es un countably infinito subconjunto de $X$, entonces no es un bijection de$\Bbb N$$A_0$, y puede enumerar $A_0=\{x_j:j\in\Bbb N\}$, vamos a $B_j(x_j)=B_{\epsilon_j}(x_j)$ por cada $j\in\Bbb N$, y decir (como lo hizo) que

$$V\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}B_j(x_j)\;,\tag{2}$$

pero tienes que decir que eso es lo que estás haciendo. Sin embargo, $A_0$ podría ser finito, en cuyo caso no hay bijection de$\Bbb N$$A_0$.

No hay necesidad de hacer todo esto, sin embargo: $(2)$ es necesario un reescritura de $(1)$, incluso cuando se $(2)$ es correcta. Si $A_0$ es contable, entonces la unión es $(1)$ es una contables de la unión, y eso es todo lo que usted necesita. Sin embargo, me gustaría fortalecer $(1)$ y decir que

$$V=\bigcup_{x\in A_0}B_{\epsilon_x}(x)\;:\tag{3}$$

en realidad hemos probado, y es lo que necesitas: $V$ es una contables de la unión de abrir las bolas, no sólo un subconjunto de una contables de la unión de abrir las bolas.

Ahora nos encontramos con el problema más grande. Su último paso no funciona en absoluto: una bola en $\Bbb R^n$ no es un intervalo. Para completar la prueba, usted necesita demostrar que una bola abierta en $\Bbb R^n$ es una contables de la unión de intervalos. Se puede argumentar, como este:

Para cada una de las $x\in A_0$ hay una contables de la familia $\mathscr{I}_x$ de los intervalos en $\Bbb R^n$ tal que $B_{\epsilon_x}(x)=\bigcup\mathscr{I}_x$. Deje $\mathscr{I}=\bigcup_{x\in A_0}\mathscr{I}_x$; a continuación,$\mathscr{I}$, siendo el contable de la unión de conjuntos contables, contables, y $$B=\bigcup_{x\in A_0}\bigcup\mathscr{I}_x=\bigcup\mathscr{I}$$ es una contables de la unión de intervalos.

Para hacer esto, sin embargo, usted tiene que probar que si $B_r(x)$ es cualquier bola abierta en $\Bbb R^n$, $B_r(x)$ es la unión de countably muchos conjuntos de la forma

$$[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\ldots\times[a_n,b_n)\;.$$

Sugiero el siguiente enfoque.

1. Primero probar que $B_r(x)$ es la unión de countably muchos conjuntos de la forma $$(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\ldots\times(a_n,b_n)\;.$$ You can do this by showing that if $y\, en B_r(x)$, there are rational numbers $p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n$ such that $$y\in(p_1,q_1)\times(p_2,q_2)\times\ldots\times(p_n,q_n)\;.\tag{4}$$ There are only countably many rational numbers, so there are only countably many open boxes like $(4)$.

2. Mostrar que cada cuadro abrir como $(4)$ es la unión de countably muchos intervalos. SUGERENCIA: Utilice el hecho de que en $\Bbb R$, $$[a,b)=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}\left(a+\frac1n,b\right)\;.$$