Clases de distribuciones cerraron bajo máximo

Question

Que $Q_p$ ser una clase de distribuciones de probabilidad en los reales no negativos parametrizadas por $p$, así que $$ Q_p([0,\infty)) = 1. $$ me pregunto qué clases conocidas de distribuciones están cerrados bajo tomar el máximo y, es decir, si $X_1\sim Q_{p_1}$ y $X_2\sim Q_{p_2}$ son independientes entonces $\max(X_1,X_2)\sim Q_{p_3}$.

Answer 1

A mí me parece que la propuesta de valor extremo distribuciones realmente responde a una pregunta diferente. Voy a demostrar que al abordar esta pregunta directamente y que muestra de ello conduce a distribuciones que no están entre los extremos de los tipos de valor.

Vamos a considerar esta a partir de primeros principios. La respuesta es inmediata, a partir de los axiomas de la probabilidad y la definición de la CDF, que la distribución de los máximos de dos variables aleatorias independientes con CDFs $F_1$ $F_2$ $F_1 F_2$ por la CDF. Supongamos que una clase de distribuciones $\Omega = \{F_{\theta}\}$ existe que es cerrado bajo pares máximo; es decir,

$$F_\theta \in \Omega, \ F_\phi \in \Omega \text{ implies } F_\theta F_\phi \in \Omega.$$

Es conveniente tomar logaritmos, que se extiende (como en Rudin avanzadas de análisis de textos) los números reales para incluir a $-\infty$ ya que el registro de $0$. Los registros de Cdf de variables aleatorias esencialmente apoyado en $[0,\infty)$ son: (i) mononotically nonincreasing, (ii) igual a$-\infty$$(-\infty,0)$, (iii) tener a la derecha de los límites de $0$, y (iv) son cadlag. Desde este punto de vista, $\Omega$ debe ser un subconjunto convexo de un cono en el espacio de cadlag funciones en $\mathbb{R}$. Para ser finitely parametrizada, que cono debe generar un finito-dimensional subespacio vectorial. Que aún queda un montón de posibilidades.

Algunas de estas posibilidades son bien conocidos. Considere, por ejemplo, la CDF de un uniforme de la variable en $[0,1]$. Su CDF es igual a $0$ en $(-\infty,0]$, $x$ al $0 \le x \le 1$, e $1$$[1,\infty)$. El cono se genera es el conjunto de Cdf de la forma

$$F_\theta(x) = \exp(\theta \log(x)) = x^\theta,\quad 0 \lt x \lt 1$$

parametrizadas por $\theta \gt 0$. Claramente el máximo de dos variables aleatorias independientes con distribución en esta familia tiene una distribución también en esta familia (sus parámetros de simplemente agregar). Podemos, si queremos restringir el acceso a un subconjunto convexo de la forma $\{F_\theta | \theta \ge \theta_0\}$ y aún así tener un máximo de cerrado de la familia. Observe, por favor, que ningún miembro de esta familia es un extremo-el valor de la distribución.

Esta formulación incluye distribuciones discretas (que, obviamente, no están entre los tres tipos de distribuciones de valor extremo). Por ejemplo, considere las distribuciones soportadas en los números naturales $0, 1, 2, \ldots, k, \ldots$ para que las probabilidades están dadas por

$${\Pr}_\theta(k) = \theta^{1/(k+1)} - \theta^{1/k}$$

(teniendo en $\theta^{1/k}=0$ al $k=0$), parametrizada por $0 \lt \theta \lt 1$. Por construcción, el CDF $F_\theta(k) = \theta^{1/(k+1)}$, de donde se sigue

$$F_\theta(k) F_\phi(k) = \theta^{1/(k+1)}\phi^{1/(k+1)} = (\theta\phi)^{1/(k+1)},$$

y porque los supuestos implican $0 \lt \theta\phi \lt 1$, esto muestra que la familia es cerrado bajo pares de maxima.

Espero que este análisis y estos dos ejemplos muestran que, contrariamente a una opinión expresada en un comentario, el enfoque de partida con un número finito de bien elegido Cdf y cerrando con respecto a los pares máximo (es decir, la formación de sus conos de un adecuado relacionados con el espacio vectorial) no sólo es constructivo , pero los rendimientos interesantes y potencialmente útiles las clases de distribuciones.

Answer 2

Esas serían las distribuciones de valor extremo. Hay tres de ellos, ya que suelen ser presentados, correspondientes a los tres conjuntos de condiciones en la distribución subyacente de que la limitación de la distribución de la máxima de ser encontrado. Son cerrados bajo la búsqueda de la máxima, que es lo que quieres.

Más o menos la copia de una versión antigua de Métodos de Análisis Estadístico de Fiabilidad y Datos de la Vida (Mann, Schafer, Singpurwalla),

Tipo I: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\exp \left[-\frac{x-\gamma}{\alpha}\right] \right\},\space -\infty < x < \infty, \space \alpha > 0$

Tipo II: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\left(\frac{x-\gamma}{\alpha}\right)^{-\beta}\right\}, \space x \geq \gamma, \space \alpha,\beta > 0$

Tipo III: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\left[-\left(\frac{x-\gamma}{\alpha}\right)^\beta\right]\right\}. \space x \leq \gamma, \space \alpha,\beta > 0$

Editar: Leer los comentarios, que se extienden esta respuesta para hacer un mejor y más completa respuesta a esta pregunta!

Answer 3

jbowman me pegaba a la respuesta. Una explicación de por qué funcionan es que Gnedenko del Teorema establece que si $X_1,...,X_n$ es una secuencia de n independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias $M_n=\max(X_1, X_2,...,X_n)$ bajo ciertas condiciones en la cola de la distribución converge a 1 de los tres tipo que jbowman mencionados en su respuesta. Ahora desde cualquier tipo I, tipo II o tipo III distribtion puede ser expresado como el límite de la máxima de un alcoholímetro de la secuencia, a continuación, si $G_1$ es decir de tipo I y es el límite de distribución de $M_n=\max(X_1, X_2,...,X_n)$ n tiende a infinito y $G_2$ es también de tipo I y es el límite de $N_n=\max(Y_1,Y_2,...,Y_n)$, a continuación, decir $V_n=\max(M_n,N_n)$ $G_3$ es la distribución de el límite cuando n se acerca a infinito para Vn, a continuación, $G_3$ será de tipo I y de ser la distribución por el máximo de un rv con la distribución de $G_1$ y otro con la distribución de $G_2$ y por lo tanto de tipo I es cerrado bajo la maximización. El mismo argumento funciona para el tipo II y tipo III.