¿Por qué no son isomorfos a sus gemelos espacios vectoriales?

Question

Suponiendo que el axioma de elección, establezca $\mathbb F$ a de ser algún campo (podemos suponer que tiene características $0$).

Me dijeron que, por más de una persona, que si $\kappa$ es un infinito cardenal, a continuación, el espacio vectorial $V=\mathbb F^{(\kappa)}$ (que es un ser infinitamente el espacio tridimensional con base de cardinalidad $\kappa$) es no isomorfos (como espacio vectorial) para el dual algebraico, $V^*$.

He preguntado a varios profesores de mi departamento, y este parece ser completamente folclore. Yo estaba dirigida a algún libro, pero podría no encontrar allí también.

La entrada de la Wikipedia me dice que este hecho no es un cardinalidad problema, por ejemplo, $\mathbb R^{<\omega}$ (que es todo el tiempo cero secuencias de números reales) tiene la misma cardinalidad como su doble $\mathbb R^\omega$ pero no son isomorfos.

De ser, por supuesto, de la misma cardinalidad es necesario, pero lejos de ser suficiente para dos espacios vectoriales a ser isomorfos.

Lo que yo estoy pidiendo, en realidad, es la de si es posible o no cuando se le da una base y una incrustación de una base de $V$ a $V^*$, para decir "Este tipo no es en el lapso de la incrustación"?

Edit: he leído las respuestas en el enlace dado por Qiaochu. No me satisface demasiado.

Mi principal problema es este: supongamos $\kappa$ es nuestra base, a continuación, $V$ se compone de $\{f\colon\kappa\to\mathbb F\Big| |f^{-1}[\mathbb F\setminus\{0\}]|<\infty\}$ (que es finito apoyo), mientras que $V^*=\{f\colon\kappa\to\mathbb F\}$ (que es todas las funciones).

En particular, la base para $V$ está dado por $f_\alpha(x) = \delta_{\alpha x}$ ( $1$ $\alpha$ , e $0$ en otros lugares), mientras que $V^*$ necesita una mucho más grande. ¿Por qué no hay otros lineal funcionales en $V$?

Edit II: Después de las discusiones en los comentarios y las respuestas, tengo una mejor comprensión de mi pregunta, para empezar. No tengo ningún reparo en que, bajo el axioma de elección, dado un conjunto infinito $\kappa$ hay muchas más funciones de $\kappa$ a $\mathbb F$, de funciones con finito de apoyo de $\kappa$ a $\mathbb F$. También es claro para mí que la base de un espacio vectorial es en realidad el conjunto de $\delta$ funciones, mientras que la base para el dual es un subconjunto de funciones características.

Mi problema es que, si es así, ¿por qué es el espacio dual compuesto de todas las funciones de $A$ a $F$?

(Y si es posible, no sólo para mostrar por la cardinalidad de los juegos que la base es mucho más grande, pero en realidad muestran que el algoritmo para la diagonalización.)

Answer 1

"Este tipo" usted está buscando es la función que tiene cada uno de sus vectores de la base y los envía a 1.

Tenga en cuenta que esto es no en el lapso de un conjunto de funciones que cada uno tome una sola base de vectores a 1, y todos los demás a 0, porque el espacio se define como el conjunto de combinaciones lineales finitas de los vectores de la base. Y de un número finito de combinaciones lineales de las cosas que han finito-dimensional apoyo aún tendrá finito-dimensional apoyo, y por lo tanto no se puede enviar infinitamente muchos independiente de todos los vectores a 1.

Usted puede decir, "Pero, ¡mira! Si puedo añadir estos infinidad de funciones, que claramente obtener una función que envía a todos mis vectores de la base a 1!" Pero este es un proceso difícil. Lo que necesitas es una noción de convergencia si desea agregar una infinidad de cosas, que no siempre es evidente cómo definir.

Al final, todo se reduce a una cardinalidad problema - no de los espacios vectoriales sí mismos, sino de las dimensiones. En el ejemplo que usted da, $\mathbb{R}^{<\omega}$ ha countably dimensión infinita, pero la dimensión de su doble es incontable.

(Añadido, en respuesta al comentario de abajo): Pensar en todas las posibles maneras en que usted puede tener una función que es de 1 en algunas de sus vectores de la base y 0 en el resto. La única manera que usted puede hacer estas y permanecer en el lapso de su base de vectores es que si usted toma el valor 1 en sólo un número finito de esos vectores. Desde su inicio el espacio era infinito-dimensional, hay un número incontable de tales funciones, y así una cantidad no numerable de ellos se encuentran fuera de la amplitud de su base. Usted sólo puede incorporar un número finito de ellos por la "adición" de uno en uno (o incluso countably muchos a un tiempo), por lo que nunca establecer el vector de isomorfismo que estás buscando.

Answer 2

Sólo tratando de dirección de un punto de Asaf planteadas en los comentarios/ediciones. Me refiero a la CW respuesta por Arturo & proyecto de Ley para la cardinalidad argumento y una respuesta real a la pregunta original.

Suponga que $A=\{e_i\mid i \in I\}$ es una base para $V$. Deje $f:A\rightarrow F$ ser cualquier función. Esta función puede ser extendida de forma lineal a un elemento de $V^*$ como sigue. Un elemento arbitrario $x\in V$ se puede escribir como una combinación lineal finita de la base de los elementos de una manera única $$ x=\sum_{j=i}^nc_j e_{i_j}, $$ donde $e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_n}$ son los vectores de la base necesaria para escribir $x$. Este subconjunto finito de $A$ (así como el número natural $n$) depende obviamente de la $x$. De todos modos, podemos definir $$ f(x)=\sum_{j=i}^n c_j f(e_{i_j}). $$ Como la suma es finita, que no sólo espacio vectorial de las operaciones en la r.h.s. (no hay convergencia pregunta o alguna de esas). Como la presentación de $x$ como combinaciones lineales de elementos de $A$ es único (hasta adición de términos con coeficientes iguales a cero), $f(x)$ está bien definido. Es sencillo comprobar que la asignación de $f$ se define de este modo es lineal, es decir, un elemento de $V^*$.

Lo que podría haber sido confuso es que no requerimos $f$ tener finito de apoyo para los de arriba `lineal' extensión de trabajar como se describe. El resultado de todo esto es que solo necesitamos utilizar un número finito de vectores de la base para escribir un vector dado $x$. IOW la finitud de la suma en la definición de la extensión lineal de $f$ proviene de $A$ siendo una base, no con el apoyo de $f$ (que no necesita ser finito).

Podemos igualmente extender a una función con singleton apoyo. Si $\chi_i:A\rightarrow F$ es la función definida por $e_i\mapsto 1, e_j\mapsto 0$, para todos los $j\in I, j\neq i$, vamos a llamar a su extensión lineal a un elemento de $V^*$$\chi_i$. ¿Cuál es la duración de las asignaciones $\chi_i$? Sólo aquellas funciones lineales $f$ $|A\setminus\ker f|<\infty$ se puede escribir como combinación lineal de los $\chi_i, i\in I$. Por lo tanto el lapso de los lineales de las asignaciones $\chi_i,i\in I$ no es un todo de $V^*$ si $\dim V$ es finito.