Demostrar que si tenemos dos función cuadrática $f(x)$ y $g(x)$ tal que $| f (x) | > | g (x) |$, then $|\Delta_f| > | \Delta_g| $. Estoy en busca de consejos, I've no idea donde debo comenzar. Gracias de antemano...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
NOTA: yo antes tenía una errónea "contraejemplo" Pero ahora creo que la afirmación es verdadera, y esbozar aquí una prueba.
Dejar que los dos cuadráticas ser $p,q$ que $|p(x)|>|q(x)|$ todos los $x.$, Entonces estamos tratando de mostrar a $|\Delta_p|>|\Delta_q|$ durante los dos discriminantes. Aquí $p$ no tiene ceros, más si $p(r)=0$ $0=|p(r)|>|q(r)|,$ no es posible. Cualquier sustitución de $x$$x+h$, es decir, un cambio de $x$ coordenadas, no tiene ningún efecto sobre la hipótesis, y también no tiene ningún efecto sobre la discriminantes, como puede comprobarse. Así que podemos asumir que las cosas se centran, de manera que el vértice de $p$ $x=0.$ hasta el momento tenemos la magnitud de $p(x),$ que también llamamos $p(x),$ $kx^2+r,$ donde $k,r>0$ [recordar aquí p no tiene ceros y es positivo.]
También nos gustaría escalar cada cuadrática multiplicando por $m>0$ cambios$p$$mkx^2+mr$, y ahora se configura $(mk)(mr)=1$ conseguir $m^2=1/(kr),$ solucionable con $m>0$ desde $k,r>0.$ el Uso de este multiplicador $m$ ahora tenemos $p$ en la forma $p(x)=ax^2+1/a.$ Este reescalado por $m$ no cambia las desigualdades en las magnitudes de $p,q$ ni de las desigualdades en sus discriminantes.
La costumbre discriminante de $ax^2+2bx+c$$4(b^2-ac),$, pero a partir de aquí vamos a dejar el factor de $4$ uso de $b^2-ac$ para discriminantes (teniendo en cuenta que tienen el $x$ coeficiente como $2b$) dicho Esto, el discriminante de $p$ ahora $\Delta_p=-1.$ [acabo de encontrar el extra 4 molesto.] De nuevo esta caída del factor 4 no tiene ningún efecto en la comparación de los discriminante magnitudes.
Ahora vamos a $q(x)=b(x-h)^2+c$ a que discriminante $\Delta_q=-bc$ (independiente de $h$). La magnitud de $p$ que ahora es $p$ sí, nunca puede ser igual a la de cualquiera de las $q$ o $-q,$ más si se hace en algunos $x=r$ tendríamos $|p(r)|=|q(r)|$ en contra de la hipótesis. No debemos considerar el caso de $c=0,$ desde entonces $\Delta_q=0<|\Delta_p|=1$ como se desee. Así, el discriminante de $q$ es distinto de cero, y lo podemos separar en dos casos. En la primera (más fácil) $\Delta_q<0$ cuadrática $q$ no tiene ceros, por lo que su magnitud (que también llamamos $q$) puede ser expresado usando $b,c>0$ $q(x)=b(x-h)^2+c.$ Cuando se multiplica,
$$q(x)=bx^2-2bhx+(bh^2+c). \tag{1}$$ Aquí $|q(0)|=bh^2+c<|p(0)|=1/a.$, En particular, desde la $b>0$, $c<1/a.$ Ahora bien, si consideramos las cosas para un gran$x$, se puede obtener también a $b \le a.$ ver esto, dividir cada una de las $p,q$ $x^2$ obtener a partir de la suposición de que $$a+\frac{1}{ax^2} >b-\frac{2bh}{x}+\frac{bh^2+c}{x^2.}.$$ Como $x \to \infty$ esta relación implica $a \ge b.$ ahora Tenemos tanto $b\le a$ $c<1/a$ y puede llegar a la conclusión de que $bc<1.$ Desde aquí $|\Delta_q|=|-bc|=bc<1=|\Delta_p|$ esto termina el caso de que $q$ no tiene ceros.
En el caso restante se $q$ tiene dos ceros, y su discriminante $\Delta_q=-bc>0.$ De lo que se ha dicho ya, no hay intersección entre la $p$ $q$ o entre el $p$ $-q.$ Si utilizamos (1) para calcular $p-q$ el resultado discriminante es $$ abh^2+ac+b/a-bc-1,$$ mientras que el discriminante de $p-(-q)=p+q$ es de apariencia similar
$$-(abh^2+ac+b/a)-bc-1.$$ Para el nonintersections mencionado, cada uno de estos discriminantes necesitan ser negativo. Esto implica que $$|abh^2+ac+b/a|<bc+1.$$ Luego tenemos a $bc+1>0,$ es decir $-bc<1,$, ya que en el presente caso $|\Delta_q|=-bc$ (lo que es positivo para este caso) da lo que se requiere en este caso en el $q$ tiene dos ceros. (Nota: el cero solo caso ha $\Delta_q=0$ ya mencionado.
