$\lim \limits_{x \rightarrow 0 }\lfloor \cos(x) \rfloor= ?$

Question

Yo estaba haciendo esta pregunta, creo que la respuesta debería ser $0$ ,

Mi argumento es el siguiente supongamos $x \rightarrow 0$ por el lado derecho, que es $x $ enfoques $0$ desde el lado positivo significado $x$ es menor y, por tanto, $\cos(x) $ debe aumentar a medida que $\cos(x)$ es una función decreciente , sino $\cos(x) < 1$, por tanto, su parte integral será $0$ , de manera similar para el caso negativo de la $\cos(x)$ desempeña el mismo papel de la $\cos(x)$ es una función par.

pero al mismo tiempo dudo de lo que sucede cuando $x = 0$, $\cos(x) = 1$ y, por tanto, parte entera se $1$.

Por favor me corrija si estoy equivocado.

Answer 1

Tienes razón.

La función $f(x)=\lfloor \cos x\rfloor$ es constante en un barrio pinchado de $0$: $x\in(-\pi/2,\pi/2)$, $x\ne0$, \lfloor \cos x\rfloor $$ = 0 $ porque $0<\cos x<1$. Por lo tanto $$ \lim_{x\to0}\lfloor \cos x\rfloor = 0 $

Cuál es el valor de $\lfloor \cos x\rfloor$ $x=0$ es completamente irrelevante en cuanto el límite es, excepto por el hecho que se puede concluir que el $f$ no es continuo en $0$.

Answer 2

Tienes razón básicamente. El valor actual de $\lfloor \cos x \rfloor$ $x=0$ es irrelevante: límites de hablan de valores en un barrio y no en un punto.

$\lfloor \cos x \rfloor = 0$ $0 < x < \frac{1}{2}$ (con espacio de sobra!), por lo que es el valor de $\lfloor \cos \frac{1}{n} \rfloor$ $0$ % todos $n \geq 2$. Por lo tanto, si existe el límite de $x \to 0$, es igual a $0$ (porque el límite es de $0$ si nos acercamos de este modo especial, a lo largo de la secuencia $\frac{1}{i}$).