Una pregunta sobre Mazur ' s lema

Question

Tengo un problema con la aplicación de Mazur del Lexema.

Sólo considere el $B(H)$ al $H=\ell_2$. A continuación, $B(H)$ es una normativa espacio vectorial. A continuación, tomar operadores $$X_n:={\rm diag}(0,0,\cdots,0,1,1,1,1,\cdots)$$ (the first $n$ values are $0$). A continuación, $X_n\rightarrow_{wo} 0$. Pero cualquier elemento $Y_i$ en el casco convexo de $\{x_i, x_{i+1}, \cdots ,x_n\}$ tiene la forma de $${\rm diag}(0,\cdots, 0, \alpha_{i},\alpha_{i+1},\cdots, \alpha_n,1,1,1,1,\cdots).$$ I don't know why there is a sequence $(Y_n)_{n=1}^\infty$ that converges to $0$ en la norma. (Por Mazur el Lema, habrá una secuencia).

En Wikipedia, se utiliza la fuerte convergencia " ，de hecho，es sólo la norma convergen en $B(H)$ que es diferente (y mucho más) de los fuertes operador topología en $B(H)$. Si el "fuertemente convergencia", en Wikipedia es habitual que fuerte operador de la topología, entonces tiene sentido. No sé de dónde lo puedo cometer errores.

Answer 1

El reclamo está tratando de demostrar es la siguiente instrucción.

La proposición. Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable y deje $(T_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de operadores en $B(H)$ que converge a algunos $T$ en la débil operador de la topología, es decir,

$$\langle T_nx, f\rangle \to \langle Tx, f\rangle$$

para todos los $x,f\in H$. A continuación, hay una secuencia $(S_n)_{n=1}^\infty$ de las combinaciones convexas de elementos de $(T_n)_{n=1}^\infty$ que converge a $T$ en el fuerte del operador de la topología, es decir,

$$\|S_n x - Tx\|\to 0$$ para todos los $x\in H$.

Prueba. Por el Banach–Steinhaus teorema, el conjunto $\{T_n\colon n\in \mathbb{N}\}$ es la norma acotada, por lo tanto también lo es $C$, el casco convexo de este conjunto. Queremos mostrar que SOT y WOT cierres de $C$ coinciden. Sin embargo, un WOT conjunto cerrado es SOT cerrado y $T$ es en el WOT cierre de $C$, por lo que solo tenemos que mostrar que $T$ es en el SOT cierre de $C$. Para este fin, es suficiente para demostrar que para cualquier conjunto finito $\{a_1, \ldots, a_k\}$$H$$\varepsilon > 0$, $\|Sa_i - Ta_i\|<\varepsilon$ algunos $S\in C$ y todos los $i$. Sin embargo $(T_n \oplus \ldots \oplus T_n)_{n=1}^\infty$ converge a $T\oplus \ldots \oplus T$ en la débil operador de la topología de $B(H \oplus \ldots \oplus H)$, por lo que

$$(Ta_1)\oplus \ldots \oplus (Ta_k)\in \overline{\{(T_j a_1)\oplus \ldots \oplus (T_ja_k)\colon j\in \mathbb{N}\}}^w. $$ Así, por Mazur el lema, $$(Ta_1)\oplus \ldots \oplus (Ta_k)\in \overline{\{(S a_1)\oplus \ldots \oplus (Sa_k)\colon S\in C\}}^{\|\cdot\|},$$ por lo tanto $$\|(Ta_1)\oplus \ldots \oplus (Ta_k) - (Sa_1)\oplus \ldots \oplus (Sa_k)\|<\varepsilon$$ para algunos $S\in C$.

Hasta ahora no hemos utilizado ese $H$ es separable (y de hecho el anterior razonamiento funciona para cualquier espacio de Banach, pero no necesariamente sólo el espacio de Hilbert $H$). Esto será importante ahora.

La unidad de la bola de $B(H)$ es metrisable en SOT (por lo tanto también lo es el BORRACHÍN de cierre de $C$), por lo tanto el límite de puntos en el SOT cierre de $C$ son alcanzables como los límites de SOT secuencias convergentes en $C$. $\square$