¿Un nuevo número imaginario? $x^c = -x$

Question

Ser joven, no tengo mucha experiencia con los números imaginarios fuera de los usos básicos de $i$. Como yo estaba sentado en mi escuela secundaria en la clase de matemáticas haciendo registros, yo tenía una idea de algo que permitiría resolver para los registros con bases negativas o con argumentos negativos. Tomando una idea similar a la que yo, de este número, cuando se utiliza como un exponente, daría como resultado un número negativo. En otras palabras, como dice el título, $x^c = -x$.

Para empezar, yo, rápidamente, mentalmente se ejecutó a través de ejemplos sencillos de cómo podría ser utilizada en estos casos, (ex. $\log(-100) = 2c$) pero pronto me empezó a preguntarse si podría haber otras aplicaciones y / o si sólo lo podría ser cualquier otra cosa.

Tampoco estoy 100% seguro de lo de la etiqueta, así que tengo un poco de adivinar.

Answer 1

Robert respuesta indica correctamente cómo encontrar, dado un $x$, un complejo de $c$ tal que $x^c=-x$.

Sin embargo, vale la pena señalar que no puede encontrar una sola $c$ tales $x^c=-x$ contendrá para cada $x$. No hay ningún número que logra esto, y si se intenta ampliar el número de sistema simplemente postulando que $c$ existe (que creo que era el punto de la pregunta), se ejecuta en esto: $$ 0 = \frac08 = \frac{-4+4}{8} = \frac{4^c+4}8 = \frac{2^c2^c+4}8 = \frac{(-2)(-2)+4}8 = \frac{4+4}8 = 1 $$ Así que si usted quiere que su $c$ a existir, pero no quiero colapsar todo en $0=1$, entonces usted tiene que descartar la exponenciación de la regla de $(ab)^c=a^cb^c$. Y sin que la regla, el resultado no es realmente digno de ser llamado exponenciación en el primer lugar.

Creo que han sido engañados por una introducción a los números complejos, que dice así: "no Hay ningún número real cuyo cuadrado es $-1$, pero asumir tuvimos un número de todos modos y llamar a $i$. Entonces se puede calcular con la suposición de $i^2=-1$, y, ta-dah! hemos inventado un nuevo tipo de números". Esta presentación, sin embargo, barre un importante punto de debajo de la alfombra, es decir, que es mejor que nos asegúrese de que la asunción de $i^2=-1$ no nos permiten demostrar las falsedades tales como $0=1$ sobre los números reales que ya sabemos y el amor, porque si lo hace, significa que nosotros no hemos inventado un nuevo tipo de números, sino simplemente engañado a nosotros mismos.

Para $i^2=-1$ resulta que no es demasiado difícil probar que no conduce al absurdo. Pero incluso cuando esta prueba se muestra, algo que aún barrido debajo de la alfombra aquí, es decir, que si asumimos $i^2=-1$ y la conocida regla de que cada número es 0 o positivo o negativo (y las reglas habituales para los números positivos y negativos), entonces podemos todavía se derivan de tonterías. Así que lo realmente cierto es que podemos obtener un $\sqrt{-1}$ si y sólo si estamos dispuestos a soltar lo que sabemos acerca de los números positivos y negativos (o "menos que"o"mayor que") cuando estamos trabajando con números complejos.

La ampliación del concepto de número es casi siempre conectado a la pérdida de algunas de las reglas que se utilizan para sostener antes de la extensión. Cuánto nos puede empujar a la extensión depende de la cantidad de reglas que nosotros estamos dispuestos a dejar ir. Así que usted puede tener su $c$, pero el costo que usted debe pagar las reglas de la exponenciación obras. Y si usted paga ese costo, habiendo $c$ se convierte en algo bastante inútil de todos modos, por lo que toda la expedición resulta ser inútil.

(Pero por supuesto que no podía haber sabido que antes de que nos fuimos y comprobado. La idea de que era lo suficientemente bueno; simplemente no funcionan. Tal vez, su siguiente).

Answer 2

$x^c = e^{c \log x} = -x = e^{\pi i + \log(x)}$ Si $c \log x = \log(x) + (2 n + 1) \pi i $ % entero $n$. Por lo tanto la respuesta es $c = 1 + \frac{(2n + 1) \pi i}{\log x}$ (asumiendo, por supuesto, $x \ne 1$).

Answer 3

Su idea no está mal. A partir de lo que supongo (y Henning parece pensar esto, también), en su introducción a los números imaginarios y complejos ha sido algo como esto:

La ecuación de $x^2 + 1 = 0$ no tiene solución en los números Reales. Así que, vamos a agregar un nuevo número $i$ que es una solución a esta ecuación y por lo tanto "extender" el conjunto de los números Reales a los números Complejos, donde cada uno de ellos tendrá este formulario (prueba omitida): $a + bi$ e (de nuevo la prueba omitida) este nuevo conjunto $C$ no nos conducen al derivar una tontería declaraciones y tiene todas las propiedades necesarias para llamar a un campo.

Este nuevo conjunto de números Complejos no tienen todas las características que los Reales tienen (como Henning puntos) como el concepto de negativos y positivos, pero tiene un montón de nuevas características que los Reales no tienen (como el hecho de que toda ecuación polinómica con grado de $n$ tiene exactamente $n$ soluciones, y no sólo por $n=2$, pero para cualquier positivos $n$) y muchos otros que podrás encontrar en cualquier libro sobre Análisis Complejo.

Así, su idea de nuevo, es muy inteligente y es esencialmente lo que muchas personas han utilizado previamente en lo que se llama algrebraic (campo) de las extensiones. Fuera de curso, no funciona como se esperaba y dependiendo de cómo uno interpets la ecuación (como Robert explicado) "su ecuación tiene soluciones en los números Complejos" o (como Henning explicado) "lleva a la tontería de las declaraciones". Tal vez usted puede encontrar algunos otros ecuación que no tiene solución, y así extender ellos.

O puede empezar con algo más sencillo como el de los Racionales (el campo $Q$) y la extendemos con una solución a la ecuación de $x^2 - 2 = 0$. Esto se llama si no me equivoco $Q(\sqrt{2})$ y usted puede tratar de encontrar (y probar) las propiedades de este conjunto. Es un campo (etc)?

O los Racionales extendido por una solución a $x^2 + 2 = 0$, el cual sería llamado $Q(\sqrt{-2})$.

Answer 4

Registro de números negativos se puede expresar con números complejos habituales: $\ln(-1)=\pi i$.