Pruebalo $\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3}{2}\sqrt3$

Question

Si $A,B,C$ son los ángulos de un triángulo, demostrar que $\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3}{2}\sqrt3$

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Quiero probar esta desigualdad sin desigualdad de Jensen, Jensen no es en mi plan de estudios.

Que $\sin A+\sin B+\sin C=x$

$2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}=x$

$4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=x$

No sé cómo solucionarlo más. Quiero convertir $\sin A+\sin B+\sin C=x$ en una ecuación cuadrática de una función trigonométrica y utilizar después la propiedad discriminante. Por favor ayuda.

Answer 1

Observe que $\sin A+\sin B=2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})\leq2\sin(\frac{A+B}{2})=2\cos\frac{C}{2}$

por lo es suficiente para mostrar que $\sin C+2\cos \frac{C}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

De hecho asumir $t=\cos\frac{C}{2}$, por encima se convierte en $2t\sqrt{1-t^2}+2t$, así que finalmente nosotros solo es necesario estimar el límite superior de $t\sqrt{1-t^2}+t$, donde $t\in (0,1)$, mientras que hay muchas maneras de calcular por ejemplo utilizando cálculo básico, el límite es $\sqrt{3}$. $\blacksquare$

Answer 2

La función $f(\alpha,\beta,\gamma):=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma$ supone un máximo en el simplex %#% $ #% por otra parte, si $$S:=\bigl\{(\alpha,\beta,\gamma)\>\bigm|\>\alpha\geq0, \ \beta\geq0,\ \gamma\geq0,\ \alpha+\beta+\gamma=\pi\bigr\}\ .$ uno tiene $\alpha>\beta\geq0$ $ y $$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\alpha+\beta\over2}\cos{\alpha-\beta\over2}<2\sin{\alpha+\beta\over2}\ ,$.

Esto permite concluir que $\bigl({\alpha+\beta\over2},{\alpha+\beta\over2},\gamma\bigr)\in S$, así que ese % $ ${\rm argmax}_S f=\bigl({\pi\over3},{\pi\over3},{\pi\over3}\bigr)$