Encontrar todos los polinomios con coeficientes reales que satisfacen $(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2)$

Question

Encontrar los polinomios con coeficientes reales que satisfacen %#% $ #%

Mi trabajo;

$$(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2)\forall x\in\Bbb R$$

$$\frac{P(x)}{P(x-2)}=-\frac{4}{x-2}+\frac{12}{x-4}+1\tag{1}$$

También factorised el polinomio conocido dos que no da nada útil. ¿Qué debo extraer de estas dos razones?

Answer 1

¿La relación es $(x-2)(x-4)P(x)=x(x+2)P(x-2)$ por lo tanto, $$\frac{P(x)}{(x+2)x^2(x-2)}=\frac{P(x-2)}{x(x-2)^2(x-4)}.$ $ se puede concluir?

Answer 2

$$(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2)\iff (x-2)(x-4)P(x)=(x+2)xP(x-2)$$ Al $x=2,4$ LHS=0, por lo $RHS=0$, por lo tanto $x=0,2$ es una raíz de $P(x)$.

Al $x=0,-2$ HR=0, por lo $LHS=0$, por lo tanto $x=0,-2$ es una raíz de $P(x)$.

Escribir $P(x)=a(x)\cdot(x-2)x(x+2)$, enchufe en la asunción, tenemos $$a(x)\cdot(x-4)(x-2)^2x(x+2)=a(x-2)\cdot(x-4)(x-2)x^2(x+2)$$ $$\implies a(x)\cdot(x-2)=a(x-2)\cdot x$$ $$\implies a(x)=ax$$ Para el último paso, lo primero que sostienen $a(x)$ no puede tener término constante, ya que $x=0$ es una raíz. Por lo tanto $a(x)=xb(x)$, lo que implica $b(x)=b(x−2)\forall x\in \mathbb{R}$.

Luego, usamos el hecho de si el polinomio $p(x)$ toma el valor de $p_0$ infinidad de veces (lo que significa que $p(x)-p_0=0$ tiene una infinidad de ceros), a continuación, $p(x)$ es constante.

Por lo tanto $P(x)=ax^2(x-2)(x+2)$

Answer 3

Vamos a excluir la solución trivial donde $P$ es el polinomio cero.

Suponga $z$ es un complejo de raíz de $P$$z\notin\{-2,0,2\}$. A continuación, $z+2$ es una raíz de la mano derecha, por lo tanto es una raíz de $P$ (o $\in\{2,4\}$, pero que se excluye). También, $z$ es una raíz de th eleft lado, por lo tanto $z-2$ es una raíz de $P$ (o $z\in\{0,-2\}$, que, una vez excluidos). Por lo tanto para cualquier complejo de raíz de $z\notin2-2\mathbb N_0=\{\ldots,-4,-2,0,2\}$ obtenemos una infinidad de raíces $z,z+2,z+4,\ldots$$P$; y para cualquier complejo de raíz de $z\notin-2+2\mathbb N_0=\{-2,0,2,4,\ldots\}$ obtenemos una infinidad de raíces $z,z-2,z-4,\ldots$$P$. Tanto es absurdo, por lo tanto todas las raíces complejas de $P$ entre$-2, 0, 2$. Llegamos a la conclusión de $P(x)=\alpha x^a(x-2)^b(x+2)^c$. Entonces (para $\alpha\ne0$) la ecuación original se convierte en $$(x-2)(x-4)\cdot x^a(x-2)^b(x+2)^c = x(x+2)\cdot (x-2)^a(x-4)^bx^c$$ es decir, $$(x-4)(x-2)^{b+1}x^a(x+2)^c = (x-4)^b(x-2)^ax^{c+1}(x+2)$$ por lo tanto $b=1, a=b+1, c+1=a, c=1$ y, finalmente, $$P(x)=\alpha x^2(x-2)(x+2).$$

Answer 4

Sugerencia: %#% $ de #% implica $$(x-4)(x-2)P(x)=x(x+2)P(x-2)$ $