El significado de la fórmula de Euler para Zeta

Question

¿Alguien sabe sobre un «significado» detrás de la fórmula de Euler, lo que realmente dice acerca de los números primos?

Sé que es en la ecuación para el zeta función y también cómo se deriva, pero no se puede encontrar realmente en cualquier lugar un significado claro de esta función con respecto a propiedades de números primos. ¿Se relaciona con una cierta probabilidad o densidad?

Recordemos que la fórmula es %#% $ #%

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Es que no me queda claro qué tipo de "significado" que usted está buscando. Sin embargo, especificar probabilty, y de hecho hay un probabilística de la aplicación de Euler producto de $\zeta(s)$ para los números enteros $s>1$.

De forma heurística, si $p$ $q$ son distintos de los números primos, entonces para una uniforme distribución de probabilidad sobre los números enteros (a pesar de que no es posible para un contable configurado para admitir una distribución uniforme), debemos (o quieren) esperar a tener que "ser divisible por $p$" y de "ser divisible por $q$" son eventos independientes. Ahora, $n$ enteros son coprime si y sólo si para todos los números primos $p$, no todos ellos son divisible por el número de $p$. La probabilidad de que todos ellos son divisibles por $p$$1/p^n$, por lo que la probabilidad de que $n$ "elegido al azar" enteros son coprime es $\prod_p(1-p^{-n})=\zeta(n)^{-1}$.

BCLC edit: Una manera simple de obtener $\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

Esto puede ser demostrado de manera más formal también, bajo la adecuada interpretación. Tenemos que especificar de qué estamos hablando: mira la probabilidad de $n$ enteros seleccionados al azar de $\{1,\cdots,N\}$ con el uniforme de la probabilidad son coprime, y tomar el límite cuando $N\to\infty$. Otra forma de interpretar el producto es como la probabilidad de que un seleccionados al azar entero es $n$th-libre de energía, es decir, no es divisible por un perfecto $n$th poder que no es una unidad (las unidades son $\pm1$). En particular, la probabilidad de dos enteros son coprime es la probabilidad de un número entero es sqaurefree es $6/\pi^2$.

Esta no es la manera que me gusta pensar en el producto de Euler, aunque. La EP es una manera de "factoring" una de Dirichlet de la serie, que lo hará a sí mismo de alguna manera de codificar la aritmética de la información. Creo que de DS como el número de la teoría (grupo de teoría, más sobre esto en breve) análogos de la generación de funciones, que son ingeniosas de la analítica de los dispositivos utilizados en la combinatoria sucintamente codificar una infinitud de contar-tipo de información en un único objeto analítico, haciendo que la combinatoria susceptibles a las técnicas de análisis. De hecho, manipulaciones simbólicas a menudo espejo, o la pista, las manipulaciones que se podría hacer en el nivel de conjuntos estructurados, pero con menos sofisticación como un requisito previo.

Una generalización (entre muchos, muchos) de los Riemann zeta función es la de Dedekind función zeta - estas cosas están unidas a los campos de número, que son los campos que contengan $\bf Q$ que son finito-dimensional como $\bf Q$-espacios vectoriales. Estas funciones zeta también admitir Euler producto factorizations. La Riemann zeta función, de hecho, codifica el teorema fundamental de la aritmética, pero en general, el número de campos (en concreto, sus anillos de enteros) no admitir la única factorización. Esta es la razón por la que los ideales se inventaron, y de hecho el EP de la Dedekind zeta función codifica única factorización de ideales en lugar de números o números enteros.

Por "tergiversar" tales funciones zeta contra de los caracteres (ver Dirichlet y Hecke $L$-funciones), obtenemos otra forma interesante de generalizar $\zeta$. Estos también admitir Euler productos. Permiten el matrimonio entre la teoría de los números y el análisis de Fourier (que es en sí, para distinguirse de las propiedades espectrales de los ceros de estas funciones, otro tema). De hecho, cada "Euler" factor de $\zeta(s)$ admite un "local" de la interpretación: $(1-p^{-s})^{-1}$ es la multiplicación de Fourier (aka Mellin) la transformación de la gaussiana, y la gaussiana es el punto fijo de la aditivo de la transformada de Fourier, más de la $p$-adics ${\bf Q}_p$. Esta alta potencia materia es la sustancia de la Tate de la tesis.

Zeta funciones ahora puede ser conectado a una gran variedad de cosas diferentes campos, gráficos, variedades, e incluso grupos (no se muy bien como es bien conocido, a un puro número de teóricos como los otros que he mencionado, creo que no) - y producir información útil acerca de los objetos que se adjuntan. En todos los casos, la factorización de un zeta función siente como una manera de ver las radiografías de la estructura interna de un objeto, como un campo de número, y descamación aparte de las capas para que sea más transparente la forma en que se combinan y superponen en la imagen grande.