Cómo calcular un valor esperado de forma más corta (cuando no es posible tener en cuenta todas las posibilidades).

Question

Hay una cuestión en la que he estado invirtiendo mucho tiempo, tratando de entender cómo calcular un valor esperado de forma exhaustiva, ya que clasificar todas las posibilidades no parece lo correcto, ni siquiera parece posible.

La pregunta dice:

Dan lanza infinitas monedas estándar e independientes. Las monedas se lanzan una a una. ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos que necesitará Dan para obtener dos caras consecutivas?

La respuesta dice que es 6, y no entendí qué hacer. Este es mi intento:

En primer lugar, tengo que llegar a la primera cabeza. Eso por sí mismo tendría una distribución geométrica con $\frac12$ que requiere al menos $2$ los pasos que se esperan dar.

Ahora, o me sale otra cabeza y he terminado, o me sale cola, cuento un paso, y luego hago 2 pasos más esperados.

Ahora estoy en mi sexto movimiento y ¿cómo sé que se espera que llegue a la cabeza? ¿Es porque la última vez llegué a la cola? Siento que estoy en la dirección correcta, pero no comprendo del todo las propiedades del valor esperado.

Answer 1

Tu inglés está bien, pero sólo para confirmar: estás buscando E, el número esperado de lanzamientos antes de haber lanzado HH. ¿sí?

Has empezado bien, pero cuando hayas tirado unas cuantas veces la expectativa puede cambiar. Evidentemente, si tu primer lanzamiento es T, por ejemplo, te das cuenta de que vas a tardar más de lo que pensabas (¡ya que parte de tu expectativa inicial se basaba en la posibilidad de lanzar HH para empezar!)

Sigamos su método: Si el primer lanzamiento es T (probabilidad = $\frac 12$ ) entonces vuelves a la casilla 1, por lo que tu expectativa desde ese estado es E de nuevo, haciendo que tu expectativa total (a lo largo de esta ruta) sea E + 1.

Si su primer lanzamiento es H ((probabilidad = $\frac 12$ ) y luego vuelves a lanzar. Con probabilidad $\frac 12$ se obtiene H de nuevo y a lo largo de este camino le tomó 2 lanzamientos. Así tenemos una probabilidad $\frac 14$ para obtener HH en 2. Por supuesto, podrías lanzar una T en tu segundo lanzamiento, en cuyo caso volverías al principio, así que tenemos una probabilidad $\frac 14$ ruta a E + 2. Poniendo todo esto junto vemos que: $$ E = \frac 14 (2)+ \frac 14 (E+2) + \frac 12 (E+1)$$ y es fácil resolverlo para obtener E = 6.