¿Espaciotiempo turbulento a partir de la ecuación de Einstein?

Question

Es bien sabido que las ecuaciones de los fluidos (ecuación de Euler, Navier-Stokes, ...), al ser no lineales, pueden tener elevados turbulento soluciones. Por supuesto, estas soluciones no son analíticas. Las soluciones de flujo laminar (flujo de Couette, por ejemplo) pueden ser inestables a las perturbaciones, en función de la viscosidad.

Además, los fluidos de baja viscosidad (el agua, por ejemplo) son más turbulentos que los de alta viscosidad (el petróleo, por ejemplo).

Me preguntaba si podría ocurrir algo parecido con la gravedad y el propio espaciotiempo. Las ecuaciones de Einstein son muy no lineales: ¿existen soluciones turbulentas?

¿O es la gravedad como un fluido muy viscoso, es decir, sin turbulencias?

¿Qué podría hacer un métrica turbulenta ¿Qué aspecto tiene? Por supuesto, no sería una solución analítica.

Imagino que las turbulencias del espaciotiempo pueden ser relevantes sólo a una escala muy grande (escalas cosmológicas, o incluso a nivel del Multiverso). Y quizá también a escala de Planck (espuma cuántica). Pero, ¿cómo podríamos definir la turbulencia geométrica?

La única referencia que he encontrado sobre este tema, que demuestra que la idea no es descabellada, es esta :

https://www.perimeterinstitute.ca/news/turbulent-black-holes

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EDITAR : A continuación he publicado una respuesta que me parece muy interesante. No sé si esta hipótesis ya se había estudiado antes.

Answer 1

Por supuesto, la gravedad puede volverse turbulenta si se acopla a un fluido turbulento. La cuestión interesante es, pues, como señala John Rennie, si una vacío solución puede ser "turbulenta".

Que yo sepa, esto no se sabe. Si se produce turbulencia en la gravedad del vacío, es muy difícil que se produzca. Incluso en situaciones muy extremas, como la colisión de agujeros negros binarios, que ahora se simulan de forma bastante rutinaria, no se ha observado ninguna turbulencia.

EDITAR: Un enfoque que se podría adoptar para estudiar esto es la "expansión post-newtoniana", en la que la RG se formula como una expansión en potencias de alguna velocidad característica $\frac{v}{c}$ . Esto se ha llevado a cabo hasta un orden extremadamente alto y la precisión de los resultados, al menos para los agujeros negros binarios, rivaliza con la de la simulación no lineal completa. En todos los órdenes existentes, se sabe que la expansión PN es exactamente integrable. Por tanto, si la RG muestra un comportamiento turbulento, sólo lo hace en situaciones muy extremas.

Hay algunas razones teóricas por las que cabría esperar turbulencias, que se insinúan en el comunicado de prensa al que enlazas. Debido a AdS/CFT, uno espera que al menos ciertos espaciostiempos GR en el vacío sean modelados de forma equivalente por una cierta teoría cuántica de campos con una simetría especial. Pero esa teoría de campos, en algún límite, debería estar descrita aproximadamente por las ecuaciones de Navier-Stokes. Por lo tanto, de nuevo quizás sólo en algún límite extraño y no del todo comprendido, los EFE del vacío deberían describirse mediante las ecuaciones de Navier-Stokes.

El objetivo del estudio al que enlazaste era investigar qué tipo de comportamiento en el gravitacional teoría que uno podría obtener cuando el correspondiente hidrodinámica teoría es turbulenta. La conclusión parece ser que ciertos comportamientos similares a la turbulencia aparecen en la teoría gravitatoria. Me parece un poco exagerado decir que este grupo ha descubierto la turbulencia gravitatoria en toda regla.

Por cierto, aún no se sabe si en el problema de dos cuerpos de la RG pueden producirse tipos de caos más pedestres. El espaciotiempo de Kerr es exactamente integrable y las geodésicas no son caóticas. Sin embargo, una actual La partícula no se moverá en el espaciotiempo de Kerr, sino en un espaciotiempo deformado que incluye también su propio campo gravitatorio. Una cuestión abierta es si esta perturbación puede conducir a un movimiento caótico y cuándo.

EDIT2: También hay algunas razones teóricas por las que uno podría no esperar turbulencias. Básicamente, lo que estoy imaginando por turbulencia es algo así como ondas gravitacionales altamente no lineales que interactúan entre sí con suficiente fuerza como para excitar el estiramiento de vórtices, etc. Pero los intentos de simular tales autointeracciones (p. ej. http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2007-5/ ) suelen encontrar que, de forma más o menos genérica, campos gravitatorios tan fuertes conducen a una rápida dispersión hasta el infinito o a la formación de un agujero negro. En los espaciotiempos cerrados, incluso las pequeñas perturbaciones parecen acabar formando un agujero negro de forma más o menos genérica, aunque esto aún no se ha resuelto. Sin embargo, estos estudios se realizan casi siempre en alta simetría, por lo que la cuestión dista mucho de estar resuelta.

Answer 2

Gracias a la holografía, ahora sabemos que las soluciones de la ecuación de Einstein en ciertas $d+1$ son equivalentes (duales) a las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes en $d$ dimensiones. Se trata de la correspondencia fluido-gravedad. Como resultado, la turbulencia puede estudiarse utilizando las ecuaciones de Einstein, véase, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1307.7267 .

Answer 3

Actualización

Recientemente, hubo una charla titulada Gravedad turbulenta en espaciostiempos asintóticamente AdS que pueden ser de interés. En estos trabajos, se consideran los espaciotiempos que son anti-de Sitter asintóticamente con condiciones de contorno reflectantes, y la noción de turbulencia en este caso es que pequeñas perturbaciones sobre estos espaciotiempos exhiben un "comportamiento turbulento".

El documento más relevante creo que sería Un camino holográfico hacia el lado turbulento de la gravedad que utiliza la correspondencia gravedad/fluido:

Estudiamos la dinámica de un fluido conforme viscoso relativista de 2+1 dimensiones en el espaciotiempo de Minkowski. Dichas soluciones de fluido surgen como duales, bajo la "correspondencia gravedad/fluido", de soluciones de brana negra asintóticamente anti-de Sitter (AAdS) de 3+1 dimensiones para la ecuación de Einstein. Examinamos las propiedades de estabilidad de los flujos de cizalla, que corresponden a modos cuasinormales hidrodinámicos de la brana negra. Encontramos que, para un número de Reynolds suficientemente alto, la solución experimenta una cascada turbulenta inversa hacia modos de longitud de onda larga.

Esto está relacionado con la respuesta publicada por Thomas.

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De hecho, existen soluciones de vacío para las ecuaciones de campo de Einstein que son inestables bajo perturbaciones. Un ejemplo famoso es el resultado de Gregory y Laflamme para cuerdas negras, que esencialmente tienen la geometría de $\mathrm{Sch}_d \times \mathbb{R}$ . Por ejemplo, una cuerda negra de cinco dimensiones podría tener una métrica,

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2 - \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2 d\Omega_2^2 - d\sigma^2$$

donde $\sigma$ es la quinta coordenada adicional. Evidentemente, esta métrica también satisfará las ecuaciones del vacío. Gregory y Laflamme demostraron que bajo una perturbación, $g_{ab} \to g_{ab} + h_{ab}$ la solución es inestable, y la propia inestabilidad es un modo tensorial. (Se presenta un argumento para demostrar que no hay inestabilidad debida a los modos escalar y vectorial).

Un trabajo posterior de Lehner (que aparece en el artículo que enlazaste) y Pretorius, Cuerdas negras, fluidos de baja viscosidad y violación de la censura cósmica (que recomiendo encarecidamente) lo revela:

La inestabilidad [Gregory Laflamme] se desarrolla de forma autosimilar, en la que el horizonte en un momento dado puede verse como finas cuerdas conectadas por agujeros negros hiperesféricos de diferentes radios. A medida que la evolución avanza, algunos trozos de la cuerda se encogen, mientras que otros dan lugar a más agujeros negros esféricos y, en consecuencia, el horizonte desarrolla una estructura fractal. En esta fase, su topología general sigue siendo $\mathbb R \times S^2$ la geometría fractal surge a lo largo de $\mathbb R$ ...

Al final, se reduce a cero y te quedas con una singularidad desnuda. Por supuesto, tiene que haber otras soluciones de vacío inestables, pero ésta en particular me viene a la mente, ya que también es relevante para la censura cósmica.

Answer 4

La correspondencia fluido-gravedad a la que se refería Thomas en su respuesta es una situación muy concreta en la que podemos importar la intuición de la dinámica de fluidos para sugerir cómo podríamos obtener turbulencia en la RG del vacío (con constante cosmológica negativa). Pensé que merecía más explicación.

En primer lugar, la dinámica de fluidos es una descripción universal, aplicable en cualquier sistema (por ejemplo, el agua, el plasma de quark-gluones, un trozo de metal,...), que describe el régimen de fluctuaciones de longitud de onda larga alejadas del equilibrio. Su punto de partida es la termodinámica, que describe un sistema en equilibrio en función de unas pocas variables (temperatura T y potencial químico $\mu$ ), a partir de la cual se determina todo lo demás (densidad, presión, densidad de entropía, ...). Fluidos va un paso más allá, ya que permite que el sistema se encuentre muy lejos del equilibrio, pero aún así localmente en equilibrio por lo que en cualquier zona suficientemente pequeña el sistema está bien equilibrado, con una temperatura local $T(x)$ potencial químico $\mu(x)$ y ahora velocidad $\vec{u}(x)$ que define el marco de reposo de equilibrio local. Estas funciones deben variar con suficiente lentitud, por ejemplo en distancias mucho mayores que el camino libre medio molecular, para que la termodinámica sea localmente una buena aproximación. Técnicamente, la dinámica de fluidos es entonces una "expansión derivativa", que permite términos en las ecuaciones de movimiento hasta un cierto orden dado. El primer orden da fluidos perfectos, el segundo introduce la viscosidad y da Navier-Stokes y sus generalizaciones. En cada orden hay que introducir nuevos "coeficientes de transporte", como la viscosidad, pero son los únicos que dependen de la teoría subyacente.

Todo esto se aplica a su teoría cuántica de campos favorita y, en particular, a ciertas teorías de interacción fuerte, relativistas e invariantes de escala que tienen descripciones gravitatorias alternativas. En ese contexto, el equilibrio corresponde a una brana negra estática y uniforme, y añadir fluctuaciones de longitud de onda larga del horizonte equivale a estudiar la dinámica de fluidos en la teoría de campos. En esta aproximación, las ecuaciones de Einstein se reducen exactamente a Navier-Stokes relativista, con algunos coeficientes de transporte y, en particular, una viscosidad muy baja (se conjetura que la más baja posible).

Esto significa que gran parte de lo que estamos acostumbrados a ver en los fluidos, como la cascada turbulenta de energía a escalas de longitud cada vez más cortas, aparece en las fluctuaciones de las branas negras. Con el tiempo, la turbulencia hará que la estructura aparezca en longitudes de onda más cortas que el camino libre medio, por lo que la aproximación de fluido se rompe y toda la gloria de la RG debe tomar el relevo. (Lo mismo ocurre en el agua o en cualquier otra cosa: la dinámica molecular adquiere importancia cuando la turbulencia alcanza una escala suficientemente pequeña, de modo que ya no se puede tratar como un fluido).

Answer 5

El ejemplo obvio de una solución caótica a las ecuaciones de Einstein es el Mixmaster métrico . Sin embargo, no se trata de una solución de vacío, y cuando la materia está presente no debería sorprendernos que pueda evolucionar de forma caótica.

La pregunta más interesante es si una solución de vacío puede evolucionar de forma caótica. Sólo puedo ofrecer un vago recuerdo de la década de 1980, cuando un amigo mío estaba trabajando en las interacciones entre las ondas gravitacionales, es decir, la dispersión de un GW por otro cuando la energía es lo suficientemente alta como para que la aproximación lineal se rompa. Recuerdo que podía producirse un comportamiento extraño, pero no sé si esto cuenta como caos.