Estoy tratando de averiguar si por cualquier simétrica (No necesariamente auto-adjunto), matriz invertible $A$$\mathbb{C}$, no es una raíz cuadrada de la matriz que es también simétrica. Yo era capaz de darse cuenta de que para invertir matrices siempre existe una raíz cuadrada, desde que tengo explícitamente hacerlo para un general de Jordania bloque e ir de allí, pero tenía la esperanza de que iba a ser necesariamente simétrico bajo esta construcción (que parece que no sea evidente o que no es cierto). Los pensamientos?
Respuesta
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Si $\|A-I\|<1$ siempre se puede definir una raíz cuadrada con la serie de Taylor de $\sqrt{1+u}$$0$: $$ \sqrt{A}=\sqrt{I+(a-I))}=\sum_{n\geq 0}\binom{1/2}{n}(a-I)^n. $$ Si $A$ es simétrica, esto produce un simétrica de la raíz cuadrada.
Más generalmente, si $A$ es invertible, $0$ no está en el espectro de $A$, por lo que hay un $\log$ sobre el espectro. Puesto que el último es finito, esto es obviamente continua. Por lo que el continuo funcional de cálculo nos permite definir $$ \sqrt{A}:=e^\frac{\log A}{2}. $$ Por la propiedad de la continua funcional de cálculo, esto es una raíz cuadrada de $A$.
Ahora tenga en cuenta que $\log$ coincide con un polinomio $p$ en el espectro (por interpolación de Lagrange, por ejemplo). Tenga en cuenta también que $A^t$ $A$ tienen el mismo espectro. Por lo tanto $$ \log(a^t)=p(a^t)=p(a)^t=(\log A)^t. $$ Tomando la serie de Taylor de $\exp$, es inmediato ver que $\exp(B^t)=\exp(B)^t$. De ello se sigue que si $A$ es simétrica, entonces nuestra $\sqrt{A}$ es simétrica.
Ahora si $A$ a no es invertible, ciertamente, no hay ningún registro de $A$ porque de lo contrario $$ A=e^B\quad\quad\Rightarrow \quad 0=\mbox{det}=e^{\mbox{Tr}B}>0. $$ Todavía estoy meditando en el caso de la raíz cuadrada.
