¿Por qué una gavilla es un objeto que permite obtener información global desde lo local?

Question

¿Hay alguien que pueda explicar/demuéstrame que una gavilla es algo que nos permiten pasar de lo local a lo global?

Una explicación para el profano estaría bien. Por lo general, tienden a renegar de ellos, pero, de ser auto-thaught y sin ninguna orientación, creo que ese tipo de explicación podría ser un útil punto de partida para obtener qué mirar en una primera lectura sobre el tema (que hacer algo más sobresalientes).

Muchas gracias.

Answer 1

A mi entender, uno de los principales puntos de la introducción de las poleas es introducir gavilla cohomology. A menudo, esto le permitirá producir relaciones entre espacios vectoriales que usted puede no haber sido capaz de ver de otra manera, y se puede forzar muy útil isomorphisms. Si usted ha visto a los largo de la secuencia exacta en la homología asociado a la secuencia exacta, saber que cosas similares suceden aquí.

A menudo (por supuesto, no siempre) uno está interesado en el global de las secciones de una gavilla, pero varios se pueden utilizar los trucos que decir algo sobre el mundial de secciones por medio de la comprensión de la mayor cohomology grupos. Por ejemplo, un famoso resultado en la geometría algebraica utiliza a la baja de la inducción de la mayor cohomology grupos para demostrar generación finita de global secciones de ciertos poleas. Este resultado puede ser probada de manera más directa, pero la prueba a través de cohomology es muy limpio.

Computación cohomology es bastante local en la naturaleza (para los iniciados: simplemente quiero decir que cuando usted está computación cohomology a través de un Cech cubierta, usted está haciendo un montón de locales de cómputos y la organización de los mismos en un complejo. Finalmente locales cálculos en todas partes, así que no es como usted está robando información de la nada!) pero los resultados que se puede forzar global secciones son de naturaleza global.

Supongo que algo más te dediques a escuchar: En un local contráctiles espacio, la informática, la gavilla cohomology con la constante gavilla calcula la costumbre singular cohomology. Por lo que abarca una teoría que probablemente estarán de acuerdo en que es muy poderoso.

El punto que estoy tratando de hacer es esto: Poleas puede ser construido para mantener la pista de un montón de cosas diferentes. Gavilla cohomology permite explotar las relaciones ocultas entre esas cosas, a menudo mediante el cálculo de cosas localmente tipo de descuento. Es increíblemente útil.

(También, otro punto de poleas es definir esquemas abstractos y variedades algebraicas. La filosofía principal que hay que "las funciones de un espacio de definir su geometría." Las poleas son una manera de mantener un registro de "las funciones de un espacio," que son especialmente útiles en situaciones donde no hay muchas funciones globales - como en la geometría algebraica o el análisis complejo. La única holomorphic funciones en una compacta superficie de Riemann son la constante de funciones. Pero hay muchos holomorphic funciones definidas en abrir establece que la superficie. Una gavilla realiza un seguimiento de este tipo de datos.)

(Otra cosa: Usted puede preguntarse por qué todos estos cohomology teorías que pueden ser desarrollados en un verdadero suave colector de acuerdo. (De Rham, Singular, etc.) El argumento que he visto (en Warner Introducción a Diferenciable Colectores) utiliza poleas fuertemente.)

Answer 2

En aras de la simplicidad, vamos a $X$ ser un espacio topológico y deje $\mathcal{C}$ ser la gavilla de funciones continuas en $X$ con valores en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$, es indiferente) con el natural topología; para mayor claridad: \begin{equation} \forall U\subseteq X\,\text{open},\,\mathcal{C}(U)=\{f:U\to\mathbb{R}\mid f\,\text{is continuous}\}. \end{equation} El tallo de $\mathcal{C}$$x\in X$, por definición, es: \begin{equation} \mathcal{C}_x=\lim_{\overrightarrow{x\in U,\,U\subseteq X\,\text{open}}}\mathcal{C}(U); \end{equation} deje $f_x\in\mathcal{C}_x$, por construcción, $f_x$ codifica la continuidad en $x$ de una función de $f$ define al menos en $x$.

¿Qué significa eso? Sabemos que una función $f$ es continua en a $U$ (abierto subconjunto de $X$) si y sólo si $f$ es continua en cualquier punto de $U$; por lo tanto, si sabemos cuales son las funciones continuas en todos los puntos de $x$$U$, podemos construir las funciones continuas en $U$, y sólo ellos!

Formalmente: $\mathcal{C}(U)$ es (obviamente) el conjunto de funciones continuas en $U$, teniendo en cuenta la función \begin{equation} \varphi_U:f\in\mathcal{C}(U)\to(f_x)\in\prod_{x\in U}\mathcal{C}_x; \end{equation} por gavilla de axiomas, podemos demostrar que $\varphi_U$ es un inyectiva mapa, que es: una función continua $f$ $U$ está determinada únicamente por su gérmenes en los puntos de $U$.

En general $\varphi_U$ no es surjective!

Ejemplo: Vamos a $X=\mathbb{R}$ natural con la topología, teniendo en cuenta la función: \begin{equation} f(x)=\begin{cases} 0\iff x\in\mathbb{Q}\\ |x|\iff x\notin\mathbb{Q} \end{casos} \end{equation} es continua sólo en $0$!, o en forma complicada: $f\notin\mathcal{C}(U)$ para cualquier abierto de vecindad $U$$0$.

Deje $U$ ser un barrio de $0$ y deje $\varphi_U\left(|\cdot|_U\right)=(g_x)_{x\in U}$$\varphi_U(0_U)=(h_x)_{x\in U}$; se considera \begin{equation} (f_x)\in\prod_{x\in U}\mathcal{C}_x\mid\begin{cases} f_x=g_x\iff x\in U\setminus\mathbb{Q}\\ f_x=h_x\iff x\in U\cap\mathbb{Q} \end{casos}, \end{equation} si no existe $\overline{f}\in\mathcal{C}(U)$ tal que $\varphi_U\left(\overline{f}\right)=(f_x)_{x\in U}$ $\overline{f}$ debe ser el cero de la función: de ninguna de las $x\in U\cap\mathbb{Q}$ existe un abierto de vecindad $V_x$ $x$ tal forma que: \begin{equation} \overline{f}_{|V_x}=0_{V_x}, \end{equation} porque: $U\cap\mathbb{Q}$ es un subconjunto denso de $U$, $U$ está separado del espacio, $\overline{f}$ es continua y cero en $U\cap\mathbb{Q}$, $\overline{f}$ es el cero de la función en $U$. Debido a $\varphi_U$ es inyectiva: \begin{equation} (f_x)_{x\in U}=\varphi_U\left(\overline{f}\right)=\varphi_U(0_U)=(g_x)_{x\in U}\neq(f_x)_{x\in U}\surd \end{equation} que es un contraddition; a continuación, $\varphi_U$ no es surjective.

De todo esto: los tallos $\mathcal{C}_x$ $\mathcal{C}$ codificar la fecha de funciones continuas en $x$ (punto de sabio de la información), y el $\mathcal{C}(U)$'s codificar la fecha de funciones continuas en $U$ (local y / o global de la información); en particular, la función de $\varphi_U$ muestra como podemos pasar desde el punto de sabios fecha local\mundial de la fecha.

El mismo razonamiento y las ideas que tienen de la gavilla de suave mapas y de formas diferenciales en un colector, la gavilla de holomorphic mapas en un complejo colector, la gavilla de regular los mapas en una variedad algebraica o en un esquema o en un (a nivel local) rodeada de espacios.