Calcular la dimensión de un espacio de operadores

Question

Esta es una pregunta de deberes.

En primer lugar, consideremos el anillo de polinomios reales en $n$ variables, $P_n=\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ ( $n\geq 2$ ), y que $S_n$ actuar $P_n$ por automorfismo (de álgebra) permutando las variables: $\sigma(x_i)=x_{\sigma(i)}$

Para cada $i=1,\ldots,n-1$ , dejemos que $s_i$ sea la transposición $(i\ i+1)$ (así $s_i(x_i)=x_{i+1}$ y $s_i(x_{i+1})=x_i$ ).

Por último, para cada $i$ , considere el operador $\Delta_i:P_n\to P_n$ dado por $$\Delta_i(f)=\frac{f-s_i(f)}{x_i-x_{i+1}}$$

(a) Demuestre que $\Delta_i$ es un operador lineal en $P_n$ que satisface la regla $$\Delta_i(fg)=\Delta_i(f)g+s_i(f)\Delta_i(g)$$ (b) Que $D_n$ sea la subálgebra generada por $Id_P,\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}$ . Calcule la dimensión de $D_3$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora: Es fácil comprobar que $\Delta_i$ es un operador bien definido y que se cumple la regla anterior. Además, en la base $\left\{x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\right\}$ tenemos lo siguiente (escribamos $x(\alpha)=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ para $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ ) $$\Delta_i(x(\alpha))=x_1^{\alpha_1}\cdots x_{i-1}^{\alpha_{i-1}}x_i^{\min(\alpha_i,\alpha_{i+1})}x_{i+1}^{\min(\alpha_i,\alpha_{i+1})}\left(\sum_{k=0}^{|\alpha_i-\alpha_{i+1}|-1}x_i^kx_{i+1}^{|\alpha_i-\alpha_{i+1}|-1-k}\right)x_{i+1}^{\alpha_{i+2}}\cdots x_n^{\alpha_n}$$ (la suma es $0$ si $\alpha_i=\alpha_{i+1}$ )

El problema es encontrar la dimensión de $D_3$ . He comprobado que $\Delta_i^2=0$ Así que $D_3$ se genera (como espacio vectorial) por $Id_P,\Delta_1,\Delta_1\Delta_2,\Delta_1\Delta_2\Delta_1,\ldots,\Delta_2,\Delta_2\Delta_1,\Delta_2\Delta_1\Delta_2,\ldots$ pero no pude encontrar ninguna otra buena relación entre $\Delta_1$ y $\Delta_2$ por lo que se obtiene un límite superior para la dimensión de $D_3$ (que supongo que es finito).

Answer 1

Mi respuesta anterior era incorrecta, aquí está la respuesta correcta obtenida al intentar corregir la anterior :)

Reclamación: $\Delta_1 \Delta_2 \Delta_1 = \Delta_2 \Delta_1 \Delta_2$ .

Obsérvese que el polinomio $h = (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)$ tiene la propiedad de que $s_i(h) = -h$ . De ello se desprende que $\Delta_i h^2 p = h^2 \Delta_i p$ para cualquier $p$ .

Un cálculo ligeramente mundano muestra que $$\Delta_1 \Delta_2 h(x_1,x_2,x_3) x_1^a x_2^b x_3^c = - x_1^a x_3^b x_2^{c+1}+x_1^a x_2^b x_3^{c+1}+x_1^{a+1} x_3^b x_2^c-\\x_1^{a+1} x_2^b x_3^c+x_3^a x_1^b x_2^{c+1}-x_2^a x_1^b x_3^{c+1}+x_2^a x_1^{b+1} x_3^c-x_3^a x_1^{b+1} x_2^c =: g(x_1,x_2,x_3).$$

Ahora, la agrupación de términos con la misma potencia de $x_1$ juntos y aplicando $\Delta_2$ muestra (con algo de trabajo) que: $$ \Delta_2 g(x_1,x_2,x_3) = x_1^a x_3^b x_2^c-x_1^a x_2^b x_3^c-x_3^a x_1^b x_2^c+x_2^a x_1^b x_3^c+x_3^a x_2^b x_1^c-x_2^a x_3^b x_1^c$$ Un argumento totalmente análogo da la misma respuesta si empezamos con $\Delta_2 \Delta_1 h(x_1,x_2,x_3) x_1^a x_2^b x_3^c$ . De ello se deduce que: $$ \Delta_1 \Delta_2 \Delta_1 h(x_1,x_2,x_3) x_1^a x_2^b x_3^c = \Delta_2 \Delta_1 \Delta_2 h(x_1,x_2,x_3) x_1^a x_2^b x_3^c.$$ De ello se desprende que $ \Delta_1 \Delta_2 \Delta_1 h p = \Delta_2 \Delta_1 \Delta_2 h p$ para cualquier polinomio $p$ . Así, también $ \Delta_1 \Delta_2 \Delta_1 h^2 p = \Delta_2 \Delta_1 \Delta_2 h^2 p$ . Ahora podemos sacar $h^2$ y concluir que $ \Delta_1 \Delta_2 \Delta_1$ y $\Delta_2 \Delta_1 \Delta_2 $ .

Se deduce inmediatamente (junto con el trabajo de OP) que $ \Delta_1\Delta_2\Delta_1\Delta_2 = \Delta_2\Delta_1\Delta_2\Delta_1 =0$ . Queda por comprobar que $\mathrm{Id},\Delta_1,\Delta_2,\Delta_1 \Delta_2, \Delta_2 \Delta_1, \Delta_1\Delta_2\Delta_1$ son linealmente independientes. Lo son, y basta con mirar algunos polinomios de bajo grado para comprobarlo. Así, la dimensión buscada es $6$ .