Encontrar una ecuación de un círculo dado su centro y un punto a través del cual pasa

Question

Ni idea de cómo hacer esto, yo solía tener estos cónica formas comprometidos con la memoria, pero me olvide de ellas.

Se supone que debo encontrar una ecuación para el círculo de centro $(-1, 4)$ y pasa a través de $(3, -2)$.

Traté de gráficos, pero no sirvió de nada ya que el punto no era en línea recta con el centro y no tengo idea de lo que el diámetro es.

Answer 1

Recordar:

Fórmula De La Distancia:

La distancia entre los puntos de $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ es $$ D=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$

Ejemplo:

El radio es la distancia entre los puntos de $(-1,4)$$(3,-2)$. Utilizando la Fórmula de la Distancia: $$ D= \sqrt{ \bigl(3-(-1)\bigr)^2 + (-2-4)^2 } = \sqrt{ 4^2 + (-6)^2 } = \sqrt{ 16+36 } = \sqrt{ 52 } . $$

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

Es importante darse cuenta de la "ecuación del círculo" es: un punto de $(x,y)$ está en el círculo, si y sólo si las coordenadas del punto de $x$ $y$ satisfacer de la ecuación. Así que, ¿cómo obtener la ecuación? ¿Cuál es la relación entre el $x$ $y$ coordenadas de un punto en el círculo?

Bueno, vamos a $(x,y)$ ser un punto en el círculo. La idea principal es:

$$ \text{La distancia desde el punto }(x,y)\text{ para el centro }(-1,4)\text{ es }\sqrt{52}.$$

Así, utilizando la fórmula de la distancia (con $(x_2,y_2)=(x,y)$$(x_1,y_1)=(-1,4)$) , se sigue que $$ \sqrt{52}=\sqrt{\bigl(x-(-1)\bigr)^2 +(y-4)^2}. $$

O $$ 52=(x+1)^2 +(y-4)^2. $$

El acceso directo sería utiliza la siguiente fórmula (Pero es importante darse cuenta de por qué te gustaría usar y de donde viene):

Ecuación de un Círculo

La ecuación de la circunferencia con centro se encuentra en $(a,b)$ y con un radio de $r$ es $$ r^2=(x-a)^2 +(y-b)^2 $$ Tenga en cuenta que el radio al cuadrado es en el lado izquierdo de la ecuación.

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Lo siguiente puede ayudar a:

Answer 2

La ecuación de un círculo con el centro $(a,b)$ y radio de $r$ es $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$$

Conoce el centro. También conoce a un punto en el círculo. El radio es la distancia desde el centro del círculo a cualquier punto en el círculo.

Para encontrar la distancia entre los $(-1,4)$ $(3,-2)$ para obtener el radio. A continuación, utilice el radio y el centro para obtener la ecuación.

El diámetro es, por supuesto, dos veces el radio, pero aquí es irrelevante.

Answer 3

En general, un círculo con el centro $(h,k)$ y radio de $r$ puede ser expresado como:

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

En el caso de nuestras preguntas, usted tiene $(h,k)=(-1,4)$ en la ecuación anterior. Usted puede, a continuación, sustituya $(-3,2)$ $(x,y)$ encontrar $r$.

Answer 4

La ecuación de un círculo con el centro $(a,b)$ y radio de $r$ es $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$$

Debido a que el centro es$(a,b)=(-1,4)$$a=-1,b=4$. También conoce a un punto en el círculo. El radio es la distancia desde el centro del círculo a cualquier punto en el círculo. La distancia entre la $(-1,4)$ $(3,-2)$ $r=\sqrt52$ o $r^2=52$. A continuación, utilice el radio y el centro para obtener la ecuación.

$$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 52$$

Answer 5

Bueno, usted debe saber (o buscar en su libro de texto) que un círculo es descrito por la ecuación de $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ donde $(x_0, y_0)$ es el centro y la $r$ es el radio. Así que usted puede ver el círculo debe ser $(x +1)^2 + (y - 4)^2 = r^2$. La única cosa que falta es $r^2$. Pero el problema dice (3, -2) es un punto en el círculo. Para conectar esta en su ecuación, usted encontrará su respuesta.