Álgebra abstracta - Grupo finito

Question

Sea G un grupo finito no trivial. Para cada $a,b \in G$ que no son identidades, existe $c \in G$ tal que $b=c^{-1}ac$ . Demostrar que $|G|=2$ .

Answer 1

Podemos responder a esta pregunta de la siguiente manera: Definir $a \equiv b$ si $\exists c $ tal que $b=c^{-1}ac$ . Obsérvese que se trata de una relación de equivalencia sobre el grupo $G$ y, por tanto, lo divide en clases de equivalencia de la forma $[a]=\{ c^{-1}ac\ | c \in G\}$ . Se nos da que cada $a$ y $b$ que no son identidades son tales que $a \equiv b$ . Así, la clase de equivalencia de $a$ consiste en todos los elementos excepto la identidad, por lo que su orden es $|G|-1$ .

Ahora la ecuación de clase viene a nuestro rescate. Lo que dice básicamente es que el tamaño de la clase de equivalencia divide el orden del grupo. Así que $|G|-1 $ divide $|G|$ y así $|G|=2$ ya que es la única cantidad finita con esta propiedad.

Por favor, comenta si no conoces la ecuación de la clase: ¡Puedo editar mi respuesta más tarde!

Answer 2

Basta con demostrar que $G$ es abeliano. Supongamos que no. Como todo elemento no identitario es conjugado con cualquier otro, todo elemento no identitario tiene el mismo orden. Por el teorema de Cauchy esto implica que $G$ debe ser de orden primo de la potencia porque, de lo contrario, habría dos elementos cuyos órdenes son primos distintos.

Tenga en cuenta que como $G$ no es abeliano, existe un elemento conmutador no trivial. Por la condición de conjugación y la normalidad del subgrupo conmutador se deduce que $G$ es perfecto. Pero los grupos de orden de potencia primo son resolubles, lo que nos da una contradicción. Por lo tanto, $G$ es abeliano, y como todo elemento no identitario es conjugado debe tener orden 2 si no es trivial.