Son un vector de fila y una columna vector de la misma cosa?

Question

Supongamos que tengo $$ A = \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\ \end{bmatrix}$$

$$ B = \begin{bmatrix} a& b& c & d\\ \end{bmatrix}$$

Ahora, sé que $A = B^T$. Pero ¿en qué sentido son estos diferentes objetos matemáticos?

$$ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 6\\ 8\\ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&4&6&8\\ \end{bmatrix} $$

Para mí, estos parecen comportarse de la misma manera. Hay alguna diferencia entre un vector de fila y un vector de columna? ¿Cómo se $A$ $B$ diferente?

Answer 1

Estas dos representaciones hacer el trabajo de la misma manera. El conjunto de todos los vectores fila de más de un anillo, $R$, es isomorfo al conjunto de todos los vectores columna sobre el mismo anillo, $C$, a través de la transformación lineal $\phi: R \rightarrow C$ definido por $\phi (v)=v^T$. Usted puede comprobar que esto es un bijection y conserva el producto escalar dado que usted ya ha demostrado que se comportan de la misma en virtud de la adición.

Pero voy a añadir que a menudo los vectores de un espacio dado se representan como vectores columna como convención.

Answer 2

Tomado por sí mismos, son isomorfos a cada uno de los otros. Sin embargo, en las matrices, las filas y las columnas especificar dos diferentes espacios vectoriales. Hay una relación especial entre la fila de los espacios y espacios de columna de una matriz, pero son diferentes maneras de especificar un espacio o transformación lineal. Vea aquí.

Answer 3

Una vez que se declara que se trata de matrices, entonces ellos deben ser diferentes: una es $1$ x $4$ y la otra es $4$ x $1$. Pero es evidente que existe una isomorfismo entre ellos: $[a, b, c, d]\rightarrow \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\ \end{bmatrix}$