La existencia de una variable aleatoria en la satisfacción de un estado en su distribución

Question

Deje $X, Y : [0,1] \to \mathcal{X}$ ser de dos variables aleatorias. Aquí, $[0,1]$ es el intervalo de tiempo con el Lebesgue $\sigma$-álgebra y $\mathcal{X}$ es un espacio topológico con la Borel $\sigma$-álgebra.

La distribución de $X$ es, por definición, una medida $\mu_X$ $\mathcal{X}$ define como $\mu_X(A) = \mathbf{P}(X^{-1}(A))$ donde $\mathbf{P}$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$.

Existen resultados en la existencia de una variable aleatoria $Z : [0,1] \to \mathcal{X}$, cuya distribución en $\mu_Z$ satisface $$\frac{1}{2} \mu_X + \frac{1}{2}\mu_Y = \mu_Z.$$

O, más en general. Dado a las distribuciones de probabilidad de dos variables aleatorias, es cada convexa de la combinación de estos de distribución también una distribución de una variable aleatoria (con el mismo dominio)?

Answer 1

Vamos a probar la siguiente construcción. Dividimos la unidad de intervalo en pedazos $[0,1/2]$$(1/2,1]$. A continuación, defina $Z(x)$ $Z(x) = X(2x)$ si $x \in [0,1/2]$ $Z(x) = Y(2(x-1/2))$ si $x \in (1/2,1]$. Ahora $$\begin{eqnarray*}P(Z(x) \in A) & = & P(\{x \in [0,1/2]\} \cap \{X(2x) \in A\}) + P(\{x \in (1/2,1]\} \cap \{Y(2(x - \frac{1}{2}) \in A\}) \\ & = & \frac{1}{2} P(X(x) \in A) + \frac{1}{2} P(Y(x) \in A).\end{eqnarray*}$$ Una construcción similar debe trabajar para otras combinaciones convexas.

Answer 2

Si $(S,\mathcal{B},\mu)$ es un espacio medible con $\mu(S) = 1$, entonces siempre existe una probabilidad del espacio $\Omega$ y una variable aleatoria $X : \Omega \rightarrow S$$\mu$. Acaba de tomar $\Omega = S, \mathcal{F} = \mathcal{B}$, $P = \mu$ y definir $X(s) = s$ todos los $s \in \Omega$. Entonces para cualquier $A \in \mathcal{B}$, \begin{gather*} P\circ X^{-1}(A) = P(X \in A) = P(\{s : X(s) \in A\}) = \mu(\{s : s \in A\}) = \mu(A). \end{reunir*} Es importante que la pregunta sólo se pregunta por la existencia de una variable aleatoria.