Donde es de Cauchy está mal la prueba?

Question

Supuestamente, Cauchy mistakingly "demostrado" que pointwise convergencia de funciones continuas es continua. Esto lo vi en algún lugar de un libro, y es también en la wikipedia:

Convergencia uniforme. En su Cours d'analyse de 1821, Cauchy "demostrado" que si la suma de funciones continuas converge pointwise, entonces su límite es también continua. Sin embargo, Abel observaron tres años más tarde que este no es el caso. Para la conclusión de espera, "pointwise convergencia" debe ser sustituida por "convergencia uniforme".1 Hay muchos contraejemplos. Por ejemplo, una serie de Fourier de senos y cosenos funciones, todas continua, pueden converger a una discontinua la función como una función de paso.

Bien, he buscado en el libro mencionado (o más bien, este uno ) y no lo encontré. Donde es?

Answer 1

En la première partie, chapitre VI, $\S$1, el 1er Théorème es:

Lorsque les differens [sic] termes de la série (1) sont des fonctions d'une même variable $x$, continúa par rapport à cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière verter laquelle la série est convergente, la somme $s$ de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, continuar función de $x$.

(1) es simplemente una secuencia $u_0,u_1,\ldots$.

Esto nos dice que una infinita suma de funciones continuas en una vecindad de un punto es continua en un barrio de ese punto.

Cauchy del argumento, ligeramente reexpresado, es esta: que la $u_i$ funciones de una variable $x$ continuo en alguna vecindad de un punto de $X$. Deje $s_n$ sus $n$ésima suma parcial, $s$ la suma y $r_n=s-s_n$. Él observa que el $s_n$ es continua en un barrio de $X$. Deje $\alpha$ ser infinitesimal y considerar el efecto en $s(X),s_n(X),r_n(X)$ cuando aumentamos $X$$\alpha$. Para cada una de las $n$, ya que el $s_n$ es continua, $s_n(X+\alpha)-s_n(X)$ es infinitesimal. Desde $s_n \to s$ se sigue que $r_n$ es infinitesimal de un gran $n$. Se dice entonces que la diferencia de $r_n(X+\alpha)-r_n(X)$ "va a ser imperceptibles" (deviendra insensibles -- esta no es la forma en la que habitualmente se refiere a cantidades infinitesimales) al mismo tiempo (es decir, para los mismos valores de $n$ $r_n$ sí lo hace. Puesto que para cada $n$ tenemos $s=s_n+r_n$, se sigue dejando $n$ tomar un valor trés-considérable que el aumento de $s$ es infinitesimal, y por lo $s$ es continua.

El error es bastante sutil y da una buena idea de por qué moderno formalismos de la NSA eran necesarios para desenredar el cual infinitesimal argumentos son válidos. Tenemos dos nociones de continuidad: el ordinario $\epsilon\delta$, y lo voy a llamar NS-continuidad: $f$ NS-continuas en el punto de $x$ si para todas las $y$ infinitamente cercana a $x$ tenemos $f(x)-f(y)$ infinitesimal. Estos no son siempre equivalentes (ejemplo: si $N$ es un infinitamente grande entero positivo, a continuación, $f(x)=x^N$ es continua pero no NS-continua en 1). Mientras que el $s_n$ son continuas para todo, incluso infinitamente grande, $n$ no puede ser NS-continuo, y aquí es donde el argumento falla.