¿Cómo calcularía usted $$\lim_{n\to\infty}(n-(\arccos(1/n)+\cdots+\arccos(n/n)))?$$ Si elegimos $n=10000$ y lo calculamos con W|A, obtenemos $0.78833$ es decir
sospechosamente cerca de $\pi/4.$ También he discutido el límite en la sala de chat. Gracias.
Respuestas
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La expresión que se resta es $n$ veces el resultado de aplicar el regla trapezoidal a la integración de $\arccos x$ de $0$ a $1$ , a excepción de una contribución $\frac12(\arccos(0)-\arccos(1))=\pi/4$ . La integral es $1$ y como el error de la regla trapezoidal es cuadrático en el tamaño del intervalo, y por lo tanto cae como $1/n^2$ el error global llega a cero cuando $1/n$ con $n\to\infty$ , por lo que sólo la contribución $\pi/4$ restos.
Anthony Shaw
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Para $x\in[0,1]$ El Teorema de Taylor dice $$ f\left(\frac{k-x}{n}\right) =f\left(\frac{k}{n}\right) -f'\left(\frac{k}{n}\right)\frac{x}{n} +O\left(\frac1{n^2}\right) $$ Sumando en $k$ produce $$ \sum_{k=1}^nf\left(\frac{k-x}{n}\right) =\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right) -x\color{#C00000}{\sum_{k=1}^nf'\left(\frac{k}{n}\right)\frac1n} +O\left(\frac1n\right) $$ Integración en $x$ en $[0,1]$ da los primeros términos de la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin veces $n$ : $$ \int_0^nf\left(\frac xn\right)\,\mathrm{d}x =n\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x =\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right) -\frac12\color{#C00000}{(f(1)-f(0)) +O\left(\frac1{\sqrt{n}}\right)} $$ Configuración $f(x)=1-\arccos(x)$ produce $$ n-\sum_{k=1}^n\arccos\left(\frac kn\right)=\frac\pi4+O\left(\frac1{\sqrt{n}}\right) $$ Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}\left(n-\sum_{k=1}^n\arccos\left(\frac kn\right)\right)=\frac\pi4 $$ Nota sobre la suma roja
Cuando $f$ y $f'$ son monótonas, el error en la aproximación de la suma de Riemann $$ \sum_{k=1}^nf'\left(\frac{k}{n}\right)\frac1n=f(1)-f(0) $$ es menor que $$ \left|f(1)-f\left(1-\frac1n\right)\right|+\left|f\left(\frac1n\right)-f(0)\right| $$ En el caso de $f(x)=1-\arccos(x)$ este error es $\sim\sqrt{\dfrac2n}$ .
