Fibonacci y Lucas números están definidas para todos los números enteros nn por las relaciones de recurrencia Fn=Fn−1+Fn−2 where F1=1 and F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2 where F1=1 and F2=1, Ln=Ln−1+Ln−2 where L1=1 and L2=3.Ln=Ln−1+Ln−2 where L1=1 and L2=3. Es fácil mostrar que F2n+1−F2n=Fn+2Fn−1F2n+1−F2n=Fn+2Fn−1 and F2n+3−F2n=4Fn+2Fn+1F2n+3−F2n=4Fn+2Fn+1 La generalización de estos, me gustaría saber para qué valores de a k∈N se puede escribir F2n+(2k+1)−F2n=kP(k,n) donde k∈N P(k,n) es el producto de Fibonacci o Lucas números.
Ideas intentado: he probado la fórmula de Binet para ver qué ideas este puede proporcionar, pero no puedo ver nada. También he probado pequeños valores de n numéricamente, pero no podía encontrar más ejemplos de los dos. Quizás son los únicos ejemplos de este tipo. Sospecho que se podría probar que si un producto existe, entonces tendría que ser de la forma Fn+aFn+b o, simplemente, F2n+c fijo enteros a,b,c (o expresiones equivalentes que impliquen Lucas números).
