Completando cuadrados por simpléctica transformaciones

Question

Un polinomio cuadrático de $2n$ variables está dada como $$H = \sum_{i,j=1}^{2n} A_{ij} x_i x_j = x^T a x,$$ donde $A$ es una matriz simétrica. Estoy buscando un simpléctica transformación de estas variables en $y = Cx$, es decir, $C^TJC=J$ donde $J=\begin{pmatrix}0 & I\\ -I & 0\end{pmatrix}$ - que $H$ se convierte en diagonal en $y$s': $C^TAC = D$ para algunos matriz diagonal $D$.

Es evidente que una transformación ortogonal haciendo el trabajo que existe siempre, pero la pregunta es acerca de simpléctica transformaciones. Además creo $D$ no puede ser la forma normal de Jordan de a $A$, ya que en ese caso $C$ puede (¿debe?) ser ortogonales y $C^TC=I$ es de forma genérica en conflicto con $C^TJC=J$.

La pregunta que surge naturalmente, si usted desea utilizar transformaciones canónicas de la mecánica clásica para convertir el más general cuadrática Hamiltonianos de un conjunto de coordenadas y momenta en que no interactúan entre osciladores armónicos.

Answer 1

En general, usted no puede diagonalize una forma cuadrática en $\mathbb{R}^{2n}$ utilizando un simpléctica de la matriz. Se hace un análisis de todas las posibles formas canónicas tal forma cuadrática puede tener, y depende de la descomposición de Jordan de la matriz $JA$. Retirar el Apéndice 6 de Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica para este análisis, y una lista de todas las posibles formas normales de una ecuación cuadrática de Hamilton.