¿Por qué hace por lo menos dos intervalos se superponen en una innumerable familia de intervalos?

Question

1. Demostrar que hay una cantidad no numerable de intervalos de $(a,b)$$\mathbb{R}, a\neq b$.
2. Suponga $X$ ser una innumerable familia de intervalos. Mostrar que existe, al menos en dos intervalos en esta familia que se superponen.

En primer lugar no era difícil. He utilizado los argumentos similar a la Diagonal de Cantor Argumento de (utilizados para mostrar las $\mathbb{R}$ es incontable.)

Mi intento por 2: Suponga $X$ ser una innumerable familia de pares de intervalos disjuntos, es decir,$(a_i,b_i) \cap (a_j,b_j) = \emptyset, \quad \forall i\neq j\in I$. Sabemos que existe un número racional en cada uno de estos intervalos. Esto implica que hay una cantidad no numerable de números racionales. Contradicción, ya que $\mathbb{Q}$ es contable. Por lo tanto, $X$ debe tener al menos dos intervalos que se superponen. $\blacksquare$

Hay algún problema con este razonamiento?

Answer 1

No, no hay problemas.

Para (1), que sin duda podría utilizar un argumento diagonal directamente a demostrar que no hay surjection de $\mathbb{N}$ en el conjunto de los intervalos, o como Git Gud señala que podría usar en su lugar el de la existencia de un surjection a partir del conjunto de intervalos de a $\mathbb{R}$ y, a continuación, la apelación a la inexistencia de una surjection $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Es común el uso del teorema de Cantor en la uncountability de los reales como una "caja negra" de esta manera.

La prueba de (2) está perfectamente bien. También se puede obtener de la contradicción que muestra que $X$ es contable después de todo, en lugar de mostrar que $\mathbb{Q}$ es incontable, pero esta elección es sólo una cuestión de gusto.