Demuestra que $\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)\right)^2 > 2$ si $x^2 > 2$

Question

Vale, estoy realmente harto de este problema. Llevo una hora con él y todos sabemos lo que hay que hacer: si no llegas a la solución de un problema sencillo, no lo harás, así que...

Estoy trabajando en una demostración de la convergencia del método babilónico para calcular raíces cuadradas. Como calentamiento estoy usando primero la secuencia $(x_n)$ definido por:

$$ x_1 = 2\\ x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{2}{x_n}) $$

Ahora para la prueba, quiero mostrar eso: $\forall n \in \mathbb{N}: x^2_n > 2$ . Quiero demostrar esto usando la inducción, así que esto finalmente se reduce a:

$$ x_n^2 > 2 \implies x_{n+1}^2 = \frac{1}{4}x_n^2 + 1 + \frac{1}{x_n^2} > 2 $$

Y no consigo llegar a la solución. Tenga en cuenta que no quiero hacer uso de mostrar que $x=2$ es un mínimo para esta función usando derivadas. Sólo quiero trabajar con las desigualdades proporcionadas. Probablemente estoy viendo a través de algo muy obvio, así que me gustaría preguntar si alguien aquí ve lo que es la captura.

Sinceramente, Eric

Answer 1

Primero, intercambia $x_n^2$ para $2y$ para que sea más fácil de escribir. La hipótesis es entonces $y > 1$ y lo que queremos mostrar es $$ \frac{2}{4}y + \frac{1}{2y} > 1 $$ $$ y + \frac{1}{y} > 2 $$ Multiplicar por $y$ (ya que $y$ es positivo, no surge ningún problema) $$ y^2 -2y + 1 > 0 $$ $$ (y-1)^2 > 0 $$ lo cual es obvio, ya que $y > 1$ .

Answer 2

Escriba $$x_{n+1}^2 -2 = \left(\frac{1}{2} \left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)\right) ^2 -2 = \frac{x_n^2}{4}+\frac{1}{x_n^2} -1 =\left( \frac{x_n}{2} - \frac{1}{x_n}\right)^2 \ge 0 $$ ya que cualquier número al cuadrado es positivo. Esto demuestra que $x_n^2 \ge 2$ para todas las opciones de $n$ .

Answer 3

Por si acaso no insiste en usar la inducción.

$$\left(x+\frac2x\right)^2 \ge 8 \Leftrightarrow x^2+4+\frac4{x^2} \ge 8 \Leftrightarrow x^2-4+\frac4{x^2}\ge 0 \Leftrightarrow \left(x-\frac2x\right)^2\ge 0$$ La igualdad se mantiene si y sólo si $x-\frac2x=0$ es decir, si $x^2=2$ .

Esto es muy similar a la derivación habitual de Desigualdad AM-GM para dos variables.

(O puede utilizar directamente AM-GM, si está familiarizado con él).