Pruebalo $\int_{0}^{2\pi}\ln \left(\frac{(1+\sin x)^{1+\cos x}}{1+\cos x}\right)dx = 0$

Question

Demostrar que

$$ Me = \int_ {0} ^ {2\pi} \ln \left (\frac{(1+\sin x) ^ {1 + \cos x}} {1 + \cos x} \right) \;dx = 0 $

Mi intento:

$$\begin{align} I &= \int_{0}^{2\pi}\ln(1+\sin x)^{1+\cos x}\;dx-\int_{0}^{2\pi}\ln(1+\cos x)\;dx\\ &=\int_{0}^{2\pi}(1+\cos x)\cdot \ln(1+\sin x)\;dx-\int_{0}^{2\pi}\ln(1+\cos x)\;dx\\ &= \int_{0}^{2\pi}(1+\cos x)\cdot \ln(1+\sin x)\;dx - 2\int_{0}^{\pi}\ln(1+\cos x)\;dx \end {Alinee el} $$

¿Cómo puedo completar la solución de este punto?

Answer 1

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi}\log\left(\frac{(1+\sin(x))^{1+\cos(x)}}{1+\cos(x)}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{2\pi}\left[(1+\cos(x))\log(1+\sin(x))-\log(1+\cos(x))\right]\,\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=\color{#C00000}{\int_0^{2\pi}\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x-\int_0^{2\pi}\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x}\\ &+\color{#00A000}{\int_0^{2\pi}\cos(x)\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x}\tag{2}\\ &=\color{#C00000}{0}+\color{#00A000}{\int_0^{2\pi}\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}(1+\sin(x))}\tag{3}\\ &=\int_1^1\log(u)\,\mathrm{d}u\tag{4}\\[9pt] &=0\tag{5} \end {Alinee el} $$ explicación:
$(1)$: propiedades de $\log$
$(2)$: redistribución de piezas
$(3)$: cancelar rojo integrales usando $\cos(x)=\sin(x+\pi/2)$
$(4)$: sustituto $u=1+\sin(x)$
$(5)$: integral que termina donde empieza es $0$

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Por otra parte, tenga en cuenta que $$\begin{align} \cos(x)\log(1+\sin(x)) &=\cos(u+\pi/2)\log(1+\sin(u+\pi/2))\\ &=-\sin(u)\log(1+\cos(u)) \end {alinee el} $ es una función impar de $u$. Por lo tanto, dado que la integral de una función impar es $0$, obtenemos por sustitución $x=u+\pi/2$, $$\begin{align} \int_0^{2\pi}\cos(x)\log(1+\sin(x))\,\mathrm{d}x &=-\int_0^{2\pi}\sin(u)\log(1+\cos(u))\,\mathrm{d}u\\ &=-\int_{-\pi}^\pi\sin(u)\log(1+\cos(u))\,\mathrm{d}u\\[6pt] &=0 \end {alinee el} $$

Answer 2

El uso de la última etapa de su obra, hemos $$ \int_0^{\large2\pi}\ln(1+\sin x)\ dx+\int_0^{\large2\pi}\ln(1+\sin x)\cdot\cos x\ dx-\int_0^{\large2\pi}\ln(1+\cos x)\ dx. $$ Por simetría, obtenemos $$ \int_0^{\large2\pi}\ln(1+\sin x)\ dx=\int_0^{\large2\pi}\ln(1+\cos x)\ dx. $$ Dejando $y=1+\sin x$ el centro integral resulta ser $$ \int_{x=0}^{\large2\pi}\ln(1+\sin x)\cdot\cos x\ dx=\int_{y=1}^{1}\ln y\ dy=0. $$

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Addendum :

Considerar la trama de $\ln(1+\sin x)\cdot\cos x$$0<x<2\pi$,

entonces, por simetría, $$ \int_{x=0}^{\large2\pi}\ln(1+\sin x)\cdot\cos x\ dx=0. $$

Answer 3

Vamos a hacer uso del hecho general de que, cuando se integra durante un período completo, las funciones seno y coseno son intercambiables, como son sus signos, es decir, para cualquier función de dos variables, tenemos

$$\int_0^{2\pi}f(\cos\theta,\sin\theta)d\theta = \int_0^{2\pi}f(\sin\theta,\cos\theta)d\theta$$ and $$\int_0^{2\pi}f(\cos\theta,\sin\theta)d\theta = \int_0^{2\pi}f(-\cos\theta,\sin\theta)d\theta=\int_0^{2\pi}f(\cos\theta,-\sin\theta)d\theta$$

Por lo tanto

$$I=\int_0^{2\pi}\log\left({(1+\sin\theta)^{1+\cos\theta}\over1+\cos\theta} \right)d\theta$ $ implica

$$\begin{align} 2I&=\int_0^{2\pi}\left[\log\left({(1+\sin\theta)^{1+\cos\theta}\over1+\cos\theta} \right)+\log\left({(1+\sin\theta)^{1-\cos\theta}\over1-\cos\theta} \right)\right]d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\log\left({(1+\sin\theta)^2\over(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)} \right)d\theta\\ &=2\int_0^{2\pi}\log(1+\sin\theta)d\theta-\int_0^{2\pi}\log(1+\cos\theta)d\theta-\int_0^{2\pi}\log(1-\cos\theta)d\theta\\ &=2\int_0^{2\pi}\log(1+\cos\theta)d\theta-\int_0^{2\pi}\log(1+\cos\theta)d\theta-\int_0^{2\pi}\log(1+\cos\theta)d\theta\\ &=0 \end {Alinee el} $$