¿Existe una regla general para cómo escribir polinomios de alto orden en forma matricial?

Question

¿Existe una regla general para escribir polinomios de alto orden en forma de matriz?

Por ejemplo, una combinación lineal de parámetros:

$$a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3 + \cdots+ a_n x_n$$

Se puede escribir como

$$\sum^n_{i=1} a_i x_i = \vec{a}^T\vec{x} $$

Las formas de segundo orden se dan por

$$ (a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3 + \cdots+ a_n x_n)^2 = \vec{x}^T {\mathbf A} \vec{x}$$

Lo que garantiza todas las combinaciones de términos de segundo orden. ¿Qué hay de los órdenes superiores? es decir,

$$(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3 + \dots +a_n x_n)^k$$

¿Qué formas garantizan todas las combinaciones de términos? ¿Existe una regla general para esto? ¿Tiene algún nombre?

Answer 1

Forma Lineal

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= ax+by$$

Forma Cuadrática

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= ax^2+2bxy+cy^2$$

Forma Cúbica

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax+by & bx+cy \\ bx+cy & cx+dy \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3$$

Forma Cuártica

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax^2+2bxy+cy^2 & bx^2+2cxy+dy^2 \\ bx^2+2cxy+dy^2 & cx^2+2dxy+ey^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Forma $m$-tupla

$$ \binom{m}{i_{1},i_{2}, \ldots , i_{n}} a_{i_{1} i_{2} \ldots i_{n}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \ldots x_{n}^{i_{n}}$$

donde $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ y $i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{n}=m$

Answer 2

Me gusta lo que ya dijo @Daniel y @Ng Chung Tak, pero permítanme reformular sus respuestas.

Consideraremos los productos tensoriales de la 1-forma $a=(a_1,\ldots a_n)\in V^*$. Una forma bilineal $b=a\otimes a$ (a la que llamaremos una "forma de segundo orden" cuando se suministre el mismo $x\in V$ en ambos argumentos) puede ser representada por una matriz igual al producto exterior de las coordenadas de $a$. Una forma multilinear $m=\otimes^ka$ sería representada por una matriz multidimensional.

Alternativamente, puedes ver esto como una aplicación del teorema multinomial y notación de multiíndices

$$ (a_1x_1+\cdots+a_nx_n)^k = \sum_{|\alpha|=k}{k \choose \alpha}a^\alpha x^\alpha $$