Cómo integrar $xe^x$

Question

Ayer me senté para mi análisis Real papel II. Allí encontré una pregunta integrar $\displaystyle\int_0^1 xe^x \, dx$ sin usar antiderivatives e integración por partes.

Lo probé por elegir una partición $P_n=(0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n},1)$. Pero no fui capaz de mostrar que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} U(f,P_n)=\lim_{n \to \infty} L(f,P_n)=1$

Answer 1

Tenemos

$$U(f,P_n) = \frac1{n^2} \sum_{k=1}^n k e^{k/n}= L(f,P_n) + \frac{e}{n}.$$

Si existe el límite de la suma superior, es idéntico al límite de la suma menor.

Tenga en cuenta que

$$\sum_{k=1}^nk r^k = \frac{r-r^{n+1}}{(1-r)^2}- \frac{nr^{n+1}}{1-r}.$$

Utilizando $r = e^{1/n}$ tenemos como $n \to \infty$

$$U(f,P_n)= \frac{1/n}{1-e^{1/n}}\frac{1/n}{1-e^{1/n}}e^{1/n}(1-e)- \frac{1/n}{1-e^{1/n}}e^{1/n}e \to 1,$$

desde

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1-e^{1/n}}= -1$$

Answer 2

Mi respuesta:

$U(f,P_n)=\frac{1}{n^2}\left(e^{\frac{1}{n}}+2e^{\frac{2}{n}}+3e^{\frac{3}{n}}+...+ne^1\right)=\frac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ke^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\left(1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{2!n^2}+\frac{k^3}{3!n^3}+..\right)=\frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\left(\frac{k}{n}+\frac{k^2}{2!n^2}+\frac{k^3}{3!n^3}+..\right)=\frac{n(n+1)}{2n^2}+\frac{n(2n+1)(n+1)}{2!6n^3}+\frac{n^2(n+1)^2}{3!4n^4}+....$

Así cuando $n\to \infty $, $U(f,P_n)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2!6}+\frac{1}{3!4}+\frac{1}{4!30}+..$ debe ser de 1

Answer 3

Mi intento fue malo. Fijación con mi elección de partición innecesariamente complica el cálculo, especialmente cuando existe una solución con la partición de la OP seleccionado.

Sugerencia: ¿Qué pasaría si cambia la partición a $P_n=[0,\frac{1}{n},\frac{1}{n-1},\ldots,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1]$?