Prueba primaria con respecto a la flor más grande en la factorización de $n!$

Question

Necesito una prueba elemental del hecho (es decir sin utilizar el postulado de Bertrand o algo así): Let $p(n)$ ser la flor más grande no mayor de $n$. Entonces $p(n)$ vendrá exactamente una vez en la factorización de $n!$.

Corolario: $n!$ no es una potencia perfecta.

Answer 1

Esta es una desarrollarse de ccc del comentario anterior:

Reclamo: La declaración de Si $n \geq 3$, la más grande de prime $p_n$ menos que o igual a $n$ brecha $n!$ exactamente una vez es equivalente al Postulado de Bertrand, diciendo siempre hay un primer entre el$n$$2n$$n \geq 2$.

$(\impliedby)$
Asumiendo el Postulado de Bertrand, es una de las principales entre el$n$$n/2$, y el más grande de prime inferior o igual a $n$ por tanto será entre el$n$$n/2$. Pero luego de este primer dividirá $n!$ exactamente una vez (el segundo factor que habría de venir de $2p_n$, requiriendo $2p_n < n$). $\diamondsuit$

$(\implies)$
Suponiendo que la declaración en la OP, luego aplicar esta norma para el número de $2n$. A continuación, el hecho de que la mayor prime $p_{2n}$ menos de $2n$ brecha $2n!$ exactamente una vez es equivalente al hecho de que $p_{2n}$ es mayor que $2n/2 = n$ (de nuevo, el segundo factor vendría de $2p_{2n}$). $\diamondsuit$

Lo que demuestra la declaración en el OP es exactamente tan duro como el sondeo de Bertrand Postulado.