El último dígito de $2^{2006}$

Question

Mi hijo de 13 años fue esta pregunta en un desafío de matemáticas. Él adivinó correctamente 4 en el supuesto de que la respuesta es probable que sea el dígito pasado de $2^6$. Sin embargo hay una mejor explicación que puedo darle.

Answer 1

$2^{4} = 16$. Multiplicar cualquier número entero incluso por $6$ y no cambia el último dígito: $0 \times 6 = 0$, $2 \times 6 = 12$, $4 \times 6 = 24$ etc.. Lo mismo es cierto si se multiplica a un entero incluso por nada cuyo último dígito termina en $6$, en particular por $16$. Ahora $2006 = 2004 + 2$ donde $2004 = 501 \times 4$, que $2^{2006} = (2^4)^{501} \times 2^2$ tiene el mismo último dígito como $2^2$.

Answer 2

Bueno, buscando en las sucesivas potencias de dos, a partir de $2^1$ tenemos $$2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, \dots$$

Ahora, mirando sólo el dígito final tenemos $$2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, \dots$$

Usted puede ser capaz de adivinar que el patrón se repite el segmento de $2, 4, 8, 6$ siempre. Si usted está en lo correcto, entonces usted puede trabajar fuera el último dígito por descubrir donde $2^{2006}$ se encuentra en este patrón. Tenga en cuenta que el primer término de la secuencia es $2$, y cada una de las cuatro términos a lo largo de ella también es $2$. Que es el $(4k+1)^{\textrm{th}}$ plazo siempre es $2$. Asimismo, el $(4k + 2)^{\textrm{nd}}$ plazo siempre es $4$, $(4k+3)^{\textrm{rd}}$ plazo siempre es $8$, y el $(4k+4)^{\textrm{th}}$ plazo siempre es $6$. Ahora solo falta averiguar si $2006$ es de la forma $4k + 1, 4k+2, 4k + 3$ o $4k + 4$. Como $2006$ es incluso, es de la forma $4k+2$ o $4k+4$. Como $4k+2 = 2006$ tiene un número entero de solución de $(k = 501)$ $4k + 4 = 2006$ no $2006$ es de la forma $4k+2$ y, por tanto, $2^{2006}$ termina en un $4$.

Una conjetura es todo bien y bueno, pero no es ninguna prueba. ¿Cómo sabemos que el patrón de dígitos que sigue a repetir para siempre (o al menos hasta el $2006$)? Bien, usted puede utilizar la aritmética modular para probar el patrón continúa, pero si su hijo sabía aritmética modular, él podría haber usado para resolver el problema en el primer lugar.

Otra forma de ver el patrón que sigue es pensar acerca de lo que sucede cuando se multiplican números. Considere la posibilidad de multiplicar el número de $43$$2$. ¿Cómo hacerlo? Primero se multiplica $3$ $2$ y poner el resultado en la columna uno, a continuación, pasar a la $4$ y se multiplica por $2$ y ponerlo en la columna de decenas. Si hubiéramos elegido $46$ en lugar de $43$, entonces es un poco más complicado debido a $6\times 2 = 12$. En esta situación nos pone el $2$ en la columna uno y llevamos a la $1$ a la columna de decenas. Todo esto suena un poco aburrido, pero el punto es este:

Para encontrar el último dígito de la $a\times 2$ donde $a$ podría tener un montón de dígitos, sólo tenemos que saber lo que (el último dígito de la $a$)$\, \times\, 2$ es. En particular, el último dígito de la $($(el último dígito de la $a$)$\, \times\, 2)$ es el mismo que el último dígito de la $(a\times 2)$.

Esto es cierto debido a la forma en que se multiplican como se explicó anteriormente. Cuando se multiplica $43$$2$, sólo debemos poner algo en la columna uno cuando hicimos $3\times 2$. En el caso de $46$ multiplicado por el $2$, obtenemos $6\times 2 = 12$ y poner el $2$ en la columna uno. Así que, independientemente del tamaño del número, sólo debemos poner algo en la columna uno, cuando se multiplica por la derecha (es decir, la última) dígitos por $2$, y en el caso de que el resultado de más de un dígito, sólo tomamos el último dígito del resultado y la puso en la columna uno.

Con esto en mente, tenemos los dígitos finales de la primera de cuatro facultades de $2$$2, 4, 8, 6$. Como $6 \times 2 = 12$, sabemos que el último dígito de la $2^5 = 2^4\times 2$$2$. Entonces como $2\times 2$ sabemos que el último dígito de la $2^6 = 2^5\times 2$$4$. Entonces como $4\times 2= 8$ sabemos que el último dígito de la $2^7 = 2^6\times 2$$8$. Entonces como $8\times 2 = 6$, sabemos que el último dígito de la $2^8=2^7\times 2$$6$. Ahora estamos de vuelta a $6$ y se puede ver que vamos a seguir el patrón de siempre. Por lo que la estimación inicial era correcta y, por tanto, el argumento de que $2^{2006}$ termina en un $4$ es válido.

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Nota, consideraciones similares a las realizadas anteriormente puede ser utilizado para demostrar que el último dígito de la $a\times b$ es el mismo que el último dígito (el último dígito de la $a$)$\, \times\, $(el último dígito de la $b$). Como antes, también puede probar esta usando aritmética modular.

Answer 3

El número puede ser escrito como $$2^{2006}=4^{1003}$$ $4^1=4$
$4^2=4\times4=16$
$4^3=4\times4\times4=64$
$4^4=4\times4\times4\times4=256$
En este punto vemos inmediatamente que si el poder de $4$ es impar entonces el último dígito es $4$ lo contrario es $6$.

Answer 4

Si $a\equiv b\pmod n\implies a^m\equiv b^m\pmod n$

Así, $2^5\equiv 2\pmod {10}\implies (2^5)^{400}\equiv 2^{400}\equiv2^{80}\equiv 2^{16}\equiv2^3.2\equiv 6\pmod{10}$

Por lo tanto, $2^{2006}\equiv 2^{2000}.2^6\equiv6.4\pmod{10}\equiv 4\pmod{10}$

Por lo tanto, la cifra de la unidad es $4$

Answer 5

Al hacer el exponentiation modular, función de φ de Euler ($\phi$) es bastante útil.

Para obtener el último dígito de $2^{2006}$, nosotros simplemente volver a escribirlo como $x \equiv 2^{2006}\; (mod\;10)$.

Para cualquier exponentiation modular, podemos expresar $a^b\;(mod\;c)$ más simplemente como $a^{b (mod\;\phi(c))}\;(mod\;c)$.

$\phi(10)=4$, por lo tanto $2^{2006}\equiv2^{2006\:(mod\:4)}\equiv2^2\equiv4\;(mod\; 10)$