Conjunto finito de divisores de cero implica anillo finito

Question

Muestre que cualquier anillo conmutativo $R$ que tenga solo $n$ ceros no nulos ($n\geq 1$) es finito y no contiene más de $(n+1)^2$ elementos.

Answer 1

Deje que $x$ sea un divisor de cero no trivial. Entonces el anulador $Ann(x)$ es finito: cada elemento de éste es cero o un divisor de cero no trivial en sí mismo, por lo que tiene a lo sumo $n+1$ elementos.

Además, tiene un índice a lo sumo de $n+1$ en $R$: cada coset $r + Ann(x)$ corresponde de manera única al divisor de cero $rx$.

Entonces $R$ debe tener a lo sumo $(n+1)^2$ elementos.