Existen varias identidades para las funciones Theta de Jacobi $\vartheta_n(z,q)$ en el Página de MathWorld y en la página de Wikipedia. Pero no he encontrado ninguna identidad integral para estas funciones.
Mientras tanto, existen bellas identidades para el caso simple de $z=0$ :
$$\int_0^1 \vartheta_2(0,q)dq=\pi \tanh \pi$$
$$\int_0^1 \vartheta_3(0,q)dq=\frac{\pi}{ \tanh \pi}$$
$$\int_0^1 \vartheta_4(0,q)dq=\frac{\pi}{ \sinh \pi}$$
Encontré estas identidades utilizando el enfoque de series y Mathematica para la suma.
Sorprendentemente Mathematica no puede tomar las integrales por sí mismo, y numéricamente para $\vartheta_2(0,q),\vartheta_3(0,q)$ son extremadamente difíciles de calcular debido al fuerte aumento alrededor de $q=1$ .
Utilizando el mismo método, es posible encontrar otras integrales interesantes, por ejemplo:
$$\int_0^1 \vartheta_2(0,q) \ln \frac{1}{q} dq=\frac{\pi}{2} \left( \tanh \pi-\frac{\pi}{\cosh^2 \pi} \right)$$
$$\int_0^1 \vartheta_3(0,q) \ln \frac{1}{q} dq=\frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{ \tanh \pi}+\frac{\pi}{\sinh^2 \pi} \right)$$
$$\int_0^1 \vartheta_4(0,q) \ln \frac{1}{q} dq=\frac{\pi}{2 \sinh \pi} \left( \frac{\pi}{ \tanh \pi}+1 \right)$$
¿Dónde puedo encontrar más información sobre las identidades integrales de las funciones Theta de Jacobi? ¿Existen algunas identidades para el caso general de $z \neq 0$ ?
Y más, ¿hay alguna intuición detrás de la relación entre las funciones theta y las funciones hiperbólicas? (Puedo entender $\pi$ ya que están relacionadas con las funciones elípticas, pero ¿dónde $\tanh, \sinh, \cosh$ de la que viene?)
