El significado de la notación como $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$, $x \in \mathbb R^n$ y $x \in \mathbb R$.

Question

Yo estoy en segundo año de universidad, y estoy tomando álgebra lineal en este semestre. De no haber sido nunca un fuerte matemáticas del estudiante, ciertamente estoy luchando con algunos conceptos básicos y especialmente la notación.

He intentado buscar en la web, pero han tenido dificultades en encontrar algo que se explica el significado de la notación como

$$ f: \Bbb{R^2} \to \Bbb{R}$$ o la diferencia entre $x\in \Bbb{R^n}$ $x \in \Bbb{R}$

Yo, básicamente, se puede leer estos, y saber el literal pronunciación de los símbolos, pero no tienen idea de lo que significan en realidad.

La primera de ellas es $f$ mapas de $\Bbb{R^2}$$\Bbb{R}$. ¿Qué significa esto exactamente?

Es decir que en un $(x,y)$ plano, la función de $f$ devuelve un solo número? E. g $f(x) = 3x^2$ $f(1) = 3$?

Es el segundo diciendo que $x$ es un elemento de un espacio vectorial con $n$ elementos $(ax_1, bx_2,....,a_nx_n)$, mientras que el primero está diciendo que $x$ es sólo un número real?

Yo realmente apreciaría si alguien me pudiera ayudar con esto, explicar o referirme a un buen libro que es apropiado en un nivel de principiante. Es más, ¿este tipo de notación tiene algún nombre específico?

Answer 1

Cuando decimos que $x \in \mathbb R$, podemos decir que el $x$ es simplemente un (unidimensional) escalares que pasa a ser un número real. Por ejemplo, podemos tener a $x = -2$ o $x = 42$.

Por otro lado, cuando decimos que el $\vec x \in \mathbb R^2$, podemos decir que el $\vec x$ es una de dos dimensiones vector cuyos dos componentes son ambos números reales. En otras palabras, $\vec x$ es un par ordenado en el plano Cartesiano que tiene la forma $(x_1, x_2)$ donde $x_1,x_2 \in \mathbb R$. Por ejemplo, podemos tener a $\vec x = (-1, 7)$ o $\vec x = (\pi, 2.54)$.

Cuando definimos una función de $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$, podemos decir que el $f$ se asigna a cada par ordenado (que contiene dos números de entrada) a un único número (como salida). Por ejemplo, podríamos definir una asignación por: $$ f((x_1, x_2)) = 2x_1 + 3x_2 $$ así que, en este caso, $f$ mapa de $\vec x = (-1, 7)$$2(-1) + 3(7) = 19$. (Por lo general, nos gusta el abuso de este tipo de notación un poco y soltar uno de los pares en el doble par de soportes por lo que acabamos de escribir como $f(x_1, x_2)$ lugar.] Puede visualizar esta en tres dimensiones, mediante el trazado de el punto de $(-1, 7, 19)$ y todos los demás tripletas de la forma $(x_1, x_2, f(x_1, x_2))$. El uso de Wolfram|Alpha, podemos trazar este para obtener un plano que pasa por el origen $(0, 0, 0)$. De hecho, este es el subespacio formado de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores de la base $(1, 0, 2)$$(0, 1, 3)$:

Answer 2

Voy a responder a sus preguntas en orden.

¿Qué hace exactamente esta asignación decir? Bueno, en pocas palabras esto significa que no es una regla, que podemos definir por nuestra función de $f$, que devuelve un valor en el codominio para cada valor del dominio.

Así que vamos a definir estas así. El dominio es el conjunto de objetos a los que nuestra función toma un argumento. Pero necesitamos dar sentido a esto de alguna manera. Así que vamos a considerar algunos ecuación polinómica, $P$. En primer lugar, vamos a $P$ ser una función

$$P:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$

Es útil para entender lo que los valores de su función toma como argumento y que los valores de su función devuelve como. Decimos que la función toma un argumento en el dominio. Este siempre será el primer conjunto definido antes de que la flecha en nuestro anterior notación de función. En nuestro caso, el dominio es $\mathbb{R}^2$, que es el conjunto de todos los pares ordenados $(x,y)$ donde $x$ $y$ son los valores de $\mathbb{R}$.

La función devolverá los valores en el codominio. Este es el conjunto inmediatamente después de la flecha. Aquí, el conjunto de todos los números reales.

Vamos a definir nuestro polinomio como tomar el par ordenado $(x,y)$ a el único valor $x^2+y^2$. Tenemos la notación para esto, es decir, se $(x,y)\mapsto x^2+y^2$ o el valor de $(x,y)$ obtiene asignada a $x^2+y^2$.

Para mí, parece que mucha de la confusión proviene de lo que los conjuntos de $\mathbb{R}^n$ por cada $n$ un número natural. Así que vamos a ir sobre esto.

Es ciertamente confuso cuando decimos ambos $x\in \mathbb{R}^n$$x\in \mathbb{R}$. En primer lugar, tenemos que hacer algo en claro. Esto es que el elemento $x$ es para ser considerado un elemento del conjunto. Esto no quiere decir $x$ es una variable que, como de costumbre. Significa exactamente como usted dice, $x$ define un punto en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ (o $x$ es un elemento del conjunto a $\mathbb{R}^n$. Esto significa que $x=(x_1,...,x_n)$ algunos $n$, y cada una de las $x_i$ es un número real; un elemento del conjunto a $\mathbb{R}$. Nota: $n$ puede ser uno).

Tal vez yo podría proporcionar una mejor visualización de la que se enseña con ortogonal real de las líneas, como es la norma. Considerar el espacio $\mathbb{R}^n$. Como un conjunto, podemos imaginar esto como $n$ copias de la recta real $\mathbb{R}$. La línea real es sólo un ser infinitamente larga línea continua. Ahora, para cada copia de la línea real, hay un punto en la línea que define la primera coordenada de nuestro punto de $x$. Así que para la primera línea en $\mathbb{R}\times...\times \mathbb{R}$ ($n$ copias) corresponde al valor de $x_1$$x=(x_1,...,x_n)$. Hacemos esto para cada línea y, finalmente, alcanzar un punto en el espacio $\mathbb{R}^n$, es decir, $x=(x_1,x_2,...,x_n)$!

Espero que esto aclare algunas cosas pero, me animo a preguntar si estoy confuso o poco claro o más de que surjan problemas.

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Además, la wiki de la página en la que funciona es bastante perspicaz para la definición. Sugiero mirar a través de ella si persiste la confusión!