¿Crees en general que si dices $U \subset X$ era denso en $X$ entonces si dejamos $V=X−U$ pero sabemos $V$ es de mayor cardinalidad que $U$ ¿Implica eso que $V$ debe ser denso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Toma el set $X=[0,1] \cup \{2\}\subset \mathbb R$ con la topología habitual inducida por $\mathbb R$ . El conjunto $\mathbb Q \cap X$ es denso en $X$ y es contable. El conjunto complementario no es contable pero tampoco es denso porque $2$ está lejos de todos los puntos de $X\setminus \mathbb Q$ .
adenda para responder a la pregunta en los comentarios. También puede tomar $X=[0,1] \cup \mathbb Q \subset \mathbb R$ y te das cuenta de que $U=\mathbb Q$ es denso en $X$ Sin embargo, el conjunto complementario es el mismo que antes. No es contable, pero no es denso (incluso más).
user27515
Puntos
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En un extremo se puede considerar cualquier conjunto no vacío $X$ con el topología de punto particular : recoger $x_* \in X$ y declaramos que los conjuntos abiertos no vacíos son exactamente aquellos subconjuntos de $X$ que contienen $x_*$ .
Es fácil ver que $\{ x_* \}$ es un subconjunto denso, sin embargo $X \setminus \{ x_* \}$ no lo es (ya que $\{ x_* \}$ es un conjunto abierto no vacío disjunto de él). Y esto es cierto independientemente de la cardinalidad de $X$ .
Verás que muchos de estos ejemplos siguen la misma línea. No sólo hay un pequeño subconjunto denso, pero hay un pequeño subconjunto denso con interior no vacío. Y esta es una condición necesaria. La definición básica de densidad es que $\overline{D} = X$ Sin embargo, con la relación $\overline{A} = X \setminus \mathrm{Int} ( X \setminus A )$ se deduce fácilmente que $D$ es denso si $\mathrm{Int} ( X \setminus D ) = \varnothing$ . Al elegir conjuntos densos con interiores no vacíos, nos aseguramos de que sus complementos no puedan ser densos. Y los espacios topológicos pueden tener pequeño (en términos de cardinalidad) conjuntos abiertos.
