¿Cuáles son los métodos de dividir números para obtener valores extraños como $16\over 17$ sin calculadora?

Question

He intentado estimar que en algún lugar cerca de $16\over 20$, pero es un tramo lejos de conseguir el % real $16\over 17$. ¿Cómo puede uno hacerlo? Convencionalmente, creo que para los números como por ejemplo $50\over 17$, o para cualquier gran número, contamos con métodos para hacer la división podemos conseguir $2+{16\over 17}$, y todavía estamos salimos con $16\over 17$, que no tengo ni idea de cómo encontrar (o al menos estimar hasta una buena precisión).

¿Más interesante, cómo las computadoras o calculadoras incluso encontraría estos valores?

Answer 1

Por favor no me upvote o downvote yo como obviamente he copiado y editado la respuesta del Sr. Hardy. Estoy de acuerdo con el Sr. Hardy que la división larga es la respuesta, pero hay un pequeño truco que hace la sustracción un poco más fácil

División larga: $$ \begin{array}{cccccccccc} & & & 0 & . & 9 & 4 & 1 & 1 & 7 & 6 \\ \\ 17 & ) & 1 & 5 & . & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 \\ & & 1 & 5 & & 3 \\ \\ & & & & & 6 & 9 \\ & & & & & 6 & 8 \\ \\ & & & & & & 1 & 9 \\ & & & & & & 1 & 7 \\ \\ & & & & & & & 2 & 9 \\ & & & & & & & 1 & 7 \\ \\ & & & & & & & 1 & 2 & 9 \\ & & & & & & & 1 & 1 & 9 \\ \\ & & & & & & & & 1 & 0 & 9 \\ & & & & & & & & 1 & 0 & 2 \\ \\ & & & & & & & & \text{etc.} \end {array} $$

Answer 2

División larga: $$\begin{array}{cccccccccc} & & & 0 & . & 9 & 4 & 1 & 1 & 7 & 6 \\ \\ 17 & ) & 1 & 6 & . & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & 1 & 5 & & 3 \\ \\ & & & & & 7 & 0 \\ & & & & & 6 & 8 \\ \\ & & & & & & 2 & 0 \\ & & & & & & 1 & 7 \\ \\ & & & & & & & 3 & 0 \\ & & & & & & & 1 & 7 \\ \\ & & & & & & & 1 & 3 & 0 \\ & & & & & & & 1 & 1 & 9 \\ \\ & & & & & & & & 1 & 1 & 0 \\ & & & & & & & & 1 & 0 & 2 \\ & & & & & & & & & & \text{et} & \text{cetera} \end{matriz} $$

Answer 3

Me doy cuenta de que $17 \cdot 2 = 34 \approx 33$, y desde $3 \cdot 33 = 99 \approx 100$, $17 \cdot 6 = 102$ va a estar cerca de $100$. Esto es bueno, porque una vez que sabemos que $17 \cdot 6 \approx 100$, tenemos que

$$17 \approx \frac{100}{6}$$ y, a su vez, lanzando todo, $$\frac{1}{17} \approx \frac{6}{100} = 0.06.$$

Por lo tanto estimo $$\dfrac{16}{17} = \dfrac{17 - 1}{17} = 1 - \dfrac{1}{17} \approx 1 - 0.06 = 0.94.$$

Estoy seguro de que podría contar si he encima o por debajo del estimado, y por cuánto, pero esto fue sólo un cálculo rápido (que podría realizar en su totalidad en la cabeza) que dependía del hecho de que hay un múltiplo de $17$ que está cerca de $100$.

Answer 4

Quisiera señalar que las computadoras y calculadoras no encuentra esos valores, como una regla. Por el contrario, se encuentran aproximaciones a los verdaderos valores. Aquí le damos el valor que estás buscando: $\frac{16}{17}.$ esto es exacto, aunque no en forma decimal.

Answer 5

Vamos a pensar acerca de esto. La División larga es el método a usar si usted no es un equipo y te gustaría que un predecible "exacta" como respuesta. Sin embargo, si usted es un ordenador, o de aceptar que no siempre saber cómo precisa su respuesta es, hay otros métodos.

Por ejemplo, considere el Método de Newton para la división, dada por,

$$x_{n+1}=x_n \cdot (2-b \cdot x_n)$$

Si usted tiene ${a \over b}$, a continuación, este método da,

$$(1) \quad {a \over b} \sim a \cdot x_n$$

Este método es particularmente útil porque evita el uso de la división. Además, este método sólo es un caso particular del método general por lo que podría ser modificado a encontrar, es decir, la raíz cuadrada de un número.

Para un ejemplo concreto utilizaremos ${{16} \over {17}}$. En primer lugar, tomamos nota de que $${1 \over {20}} \lt {1 \over {17}} \lt {1 \over {10}}$$ Vamos a recoger $x_0=0.07$ y obtener,

$$x_1=0.07 \cdot (2-17 \cdot 0.07)=0.0567$$

$$x_2=0.0567 \cdot (2-17 \cdot 0.0567)=0.05874687$$

El uso de $(1)$, se obtiene,

$${{16} \over {17}} \sim 16 \cdot 0.0588=0.9408$$

En caso de que se preguntan, este resultado, el uso de $x_2$ $0.04$ % de error. Hecho de la diversión, hay diez ceros después de que el porcentaje antes de que el siguiente número. Si nos aproximan con $x_1$, el error sería de alrededor de $3.6$%.

Para acelerar el método, usted puede notar que si usted pone en un $x_n$ que conozcas a ser demasiado alta, $x_{n+1}$ generalmente será demasiado baja. Esto significa que usted puede ajustar los últimos dígitos de la aproximación hacia arriba o hacia abajo dependiendo de lo que usted sabe. También hay una propiedad de convergencia usted debe tomar ventaja de. Mirando cuántos dígitos de $x_n$ son compartidos con $x_{n+1}$ usted puede escoger un más efectivo para el ajuste de tomar ventaja de la oscilatorio de convergencia.