Estoy tratando de calcular los ángulos de lanzamiento iniciales y la velocidad de un proyectil (los efectos de la atmósfera pueden ser descuidados), asumiendo que conozco las coordenadas lat/lon de ambos puntos de lanzamiento y destino. ¿Puede recomendarme alguna biblioteca de software o material de lectura que pueda ayudarme? Gracias.
Respuestas
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Si no consideras el arrastre atmosférico y otros efectos disipadores, asumiendo que la Tierra no está en rotación, e ignoras la relatividad general (que es un montón de suposiciones a hacer, y más tarde puedo tratar de editar esto para comentar cómo podrían estar relajadas), una trayectoria balística es sólo un segmento de una órbita. Así que encontrar los parámetros de lanzamiento sólo implica encontrar una órbita que intersecte tanto el punto de lanzamiento como el destino.
Las trayectorias orbitales están dadas por la ecuación
$$r_o = \frac { \rho }{1 + \epsilon\cos\phi }$$
donde $ \rho $ es un parámetro de longitud relacionado con el tamaño de la órbita y $ \epsilon $ es la excentricidad. En los puntos donde la órbita se cruza con la superficie de la Tierra, tendrás $r_o$ igualando el radio de la Tierra en ese punto; digamos $r_o = R_L$ para el punto de lanzamiento y $r_o = R_D$ para el destino. Esto te da las siguientes dos ecuaciones,
$$R_L = \frac { \rho }{1 + \epsilon\cos\phi_L }$$
$$R_D = \frac { \rho }{1 + \epsilon\cos\phi_D }$$
junto con la restricción de que $ \phi_D - \phi_L $ (o viceversa, dependiendo de cómo defina las coordenadas) tiene que ser igual a la separación angular $ \Delta $ entre la fuente y el destino. Esa separación angular puede ser calculada usando el ley de haversines .
Este sistema de ecuaciones puede resolverse para los parámetros orbitales de la siguiente manera, asumiendo $R_D \neq R_L$ (véase más abajo el otro caso),
$$ \epsilon = \frac {R_L - R_D}{R_D \cos ( \phi_L + \Delta ) - R_L \cos\phi_L }$$
$$ \rho = \frac {R_D R_L [ \cos ( \phi_L + \Delta ) - \cos\phi_L ]}{R_D \cos ( \phi_L + \Delta ) - R_L \cos\phi_L }$$
Fíjese que dependen de $ \phi_L $ Esto se debe a que sólo el diferencia $ \phi_D - \phi_L = \Delta $ es físicamente relevante, así que eres libre de elegir el verdadero valores para ser lo que quieras. Su elección de $ \phi_L $ influirá en la forma de la trayectoria.
Habiendo calculado $ \epsilon $ y $ \rho $ puedes determinar el ángulo de lanzamiento $ \alpha $ sobre el horizonte calculando la pendiente de la órbita en el punto de lanzamiento:
$$ \tan\alpha = \left.\frac {1}{r_o} \frac { \mathrm {d}r_o}{ \mathrm {d} \phi } \right |_{ \phi_L } = \frac { \epsilon\sin\phi_L }{1 + \epsilon\cos\phi_L } = \frac {(R_L - R_D) \sin\phi_L }{R_D[ \cos ( \phi_L + \Delta ) - \cos\phi_L ]}$$
Para determinar la velocidad, puedes usar el hecho de que (según mis notas) la energía total del proyectil está dada por
$$E = \frac {GMm( \epsilon ^2 - 1)}{2 \rho }$$
que es igual a la suma de las energías cinética y potencial, $ \frac {1}{2}mv^2 - \frac {GMm}{r}$ . ( $m$ es la masa del proyectil, $M$ es la de la Tierra) Conectando $r = R_L$ tengo
$$v = \sqrt { \frac {2GM}{R_L} + \frac {GM( \epsilon ^2 - 1)}{ \rho }}$$
Así que el resultado final es que conectas $R_D$ , $R_L$ , $ \Delta $ y alguna elección de $ \phi_L $ en las fórmulas para $v$ y $ \alpha $ para obtener los parámetros de lanzamiento.
Mencioné que el procedimiento anterior tiene un inconveniente si $R_D = R_L$ . Terminarías calculando $ \epsilon = 0$ que en un planeta esférico implica hacer rodar su proyectil a lo largo del suelo ;-) lo cual no tiene sentido.
Si $R_D = R_L$ puedes volver a las ecuaciones orbitales y encontrar que $ \cos\phi_D = \cos\phi_L $ . (Alternativamente, esto podría venir de la condición de que el denominador de $ \epsilon $ también ser cero.) La única manera de satisfacer esto es estableciendo $ \phi_L = - \phi_D = \Delta /2$ . Esto te da la condición
$$ \rho = R_L \left (1 + \epsilon\cos\frac { \Delta }{2} \right )$$
De nuevo, tienes un grado de libertad: puedes elegir cualquier valor de $ \epsilon $ y conectando con esta ecuación te dará el valor correspondiente de $ \rho $ . Una vez que los tengas, puedes usar los mismos procedimientos para calcular el ángulo de lanzamiento y la velocidad:
$$ \tan\alpha = \left.\frac {1}{r_o} \frac { \mathrm {d}r_o}{ \mathrm {d} \phi } \right |_{ \phi_L } = \frac { \epsilon\sin\frac { \Delta }{2}}{1 + \epsilon\cos\frac { \Delta }{2}}$$
$$v = \sqrt { \frac {2GM}{R_L} + \frac {GM( \epsilon ^2 - 1)}{R_L(1 + \epsilon\cos\frac { \Delta }{2})}}$$
Dr.Dredel
Puntos
684
Los números racionales son a la vez un continuo (entre dos racionales cualesquiera se puede encontrar otra racional) y contables (se pueden alinear en correspondencia con los números enteros positivos).
El matemático se lo perdió durante cientos (¿miles?) de años, hasta Cantor.
Por supuesto, la prueba de eso funciona de ambas maneras, y es igualmente sorprendente de la otra manera - hay una manera de ordenar los números enteros (o cualquier conjunto contable) que lo convierte en un continuo.
