¿Qué es exactamente el $-i$?

Question

Todos sabemos que $i$ no tiene ningún signo: no es positivo ni negativo. Entonces ¿cómo puede la gente uso $-i$ para nada?

Además, definimos $i$ un número tal que $i^2 = -1$. Pero también puede ser visto que $(-i)^2 = -1$. Entonces ¿de qué manera difiere $-i$ $i$? Si no es así, entonces ¿por qué aún tenemos algo así como un $-i$?

Answer 1

El % de vector $(1,-2)$también es ni positivo ni negativo, pero hay valor en tener la operación $-(1,-2)=(-1,2)$.

Nota: no es ningún significado natural para "positivo" para vectores, esto es sólo una analogía.

Answer 2

Usted debe tener cuidado, aunque $2^2 = (-2)^2 = 4$ esto no significa que $2 = -2$, de hecho el problema aquí (pensar acerca de reales por un tiempo), es que si se consideran los números negativos, entonces la función de $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(x) = x^2$ no es inyectiva.

Puesto que usted ha creado $i$$i=\sqrt{-1}$, entonces usted está obviamente permitido crear un nuevo número de $-i = -\sqrt{-1}$. También, si usted cree en la función de $f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^2$$f(a+bi) = (a,b)$, esta función identifica $\mathbb{C}$$\mathbb{R}^2$, y en este sentido, un número complejo es un punto en el plano. Tenga en cuenta que tenemos $f(i) = (0,1)$ y $f(-i) = (0,-1)$, así que hay dos cosas a tener en cuenta: cada número que puede escribirse $ai$ algunos $a \in \mathbb{R}$ puede ser identificado con un punto en el $y$ eje, y la introducción de $-i$ tenemos no sólo la parte superior $y$ eje, pero el total de uno.

EDIT: Debido a los comentarios que he pensado que sería bueno añadir esta edición. Encima me ha proporcionado una geométricas vista de lo que ocurre cuando se introduce $-i$, ahora solo voy a decir un poco acerca de la algebraicas punto de vista. Ya que cada número complejo $z \in \mathbb{C}$ $z=a+ib$ algunos $a,b \in \mathbb{R}$ si no permitimos que cosas como $-i$ le gustaría tener algunos problemas. Por ejemplo, considere la posibilidad de ecuaciones cuadráticas con complejo conjugado raíces: uno de ellos sería un bien definidos elemento de $\mathbb{C}$, pero el otro no! Además, no sería posible presentar para cada una de las $z$ $-z$ con la propiedad de nice $z + (-z) = 0$ y resulta que $\mathbb{C}$ no sería un campo. También, si se utiliza el estándar de las operaciones de suma entre los complejos y ha $z = a+ib$ y desea que el inverso aditivo $-z$ se puede demostrar muy fácilmente que usted debe tener $-z = (-a) + i(-b)$, por lo que el $-i$ podría realmente ser $i(-1)$, por lo que en la práctica, el elemento $-i$ (y cualquier otro negativo complejo en general) aparece de forma natural a la hora de definir los complejos como nosotros y cuando introducimos las operaciones como a nosotros.

Answer 3

El número imaginario $i$ fue descubierta/inventó ha revelado como una solución de la ecuación $$ x^2+1=0\etiqueta{$\ast$} $$ La ecuación, y que la ecuación solo, es el vínculo entre el $i$ y los reales. Sin embargo, hay otra solución $(\ast)$: $-i=-1\times i$ también satisface $(\ast)$. Básicamente, esto es debido a que $(-1)^2=1$.

Puesto que el vínculo entre el $i$ y los reales es la misma ecuación que es satisfecho por $-i$, fácilmente uno puede preguntarse, "qué es qué?" Cuando elegimos una solución a $(\ast)$, no nos metemos $i$ o $-i$? En un sentido, no importa; ambos satisfacen $(\ast)$ $i^2=-1$ es propiedad usamos para hacer matemáticas en $\mathbb{C}$.

Por otro lado, el complejo de conjugación, de intercambio de $i\leftrightarrow-i$, es un importante isomorfismo de $\mathbb{C}$. Por ejemplo, cualquier polinomio con coeficientes reales que ha $x+iy$ como una raíz, también debe tener $x-iy$ como una raíz. Hay muchas maneras de mostrar esto, pero una de las más básicas es mediante el intercambio de $i\leftrightarrow-i$. Este isomorfismo no afecta a la real coeficientes del polinomio, pero swaps $x+iy\leftrightarrow x-iy$.

Al final, nos llamamos raíz de $(\ast)$, $i$, y el otro, $-i$; realmente no importa que. Ambos satisfacer $(\ast)$ y eso es lo importante.

Answer 4

Rápidamente me escaneadas todas las respuestas y no veo a nadie mencionar las rotaciones, por lo que pensé que iba a -- la respuesta más sencilla a tu pregunta es que $-i$ sólo representa una rotación de $\frac{\pi}{2}$ de las agujas del reloj, mientras que $i$ representa una rotación de $\frac{\pi}{2}$ hacia la izquierda. En otras palabras, $i$ $-i$ se invierte en el grupo $SO(2)\cong\left\{e^{i\theta}\,|\,\theta\in[0,2\pi)\right\}$ de las rotaciones en el plano. Desde esta perspectiva, $i$ $-i$ son tan enfáticamente "diferentes" como cualquiera podría imaginar.

EDIT: pensé que me gustaría añadir que, sin embargo, otra manera de decir lo que yo he dicho es que el complejo de la conjugación es sólo una manera de cambiar la orientación del plano. (En particular, es una orientación de la inversión isometría.) Aparentemente el "signo" como diferencia entre el $i$ $-i$ es realmente sólo una diferencia en la elección de la orientación.

Answer 5

Después de definir un nuevo símbolo $i$ de manera tal que su cuadrado es el número negativo $-1$, usted puede hacer álgebra con ella. Así, usted tiene un aditivo operación en el conjunto de símbolos como $a+bi$,$a,b\in \mathbb{R}$. Pero, si usted recuerda, cada elemento debe tener un inverso aditivo y se denota por a $-i$.

Editar:

pd: sugiero leer acerca de la construcción de los números complejos campo. ¿Cómo se define?

ps1: cuando usted habla de vectores $(a,b)$ (nada más que los pares ordenados) se está identificando a $\mathbb{C}$$\mathbb{R}^2$.