Topología sobre el espacio de estructuras casi complejas compatibles en la geometría simpléctica

Question

Tengo un par de bastante genérica preguntas, con una aplicación específica para la geometría simpléctica en mente. Permítanme plantear el problema específico de la primera:

Vamos a un simpléctica colector $(M,\omega)$ ser dado. Está claro que uno se lleva a considerar el "espacio" $\mathcal{J}$ de los casi estructuras complejas compatible con $\omega.$, Una muestra de que este espacio no está vacío y contráctiles. Por supuesto, esto es simplemente un juego hasta que uno de los equipa con una topología. Mi pregunta básica es: ¿qué es la topología? No puedo pensar en una posibilidad, que se basa en la aparente realidad (afirma sin prueba en Audin-Lafontaine) que uno tiene un montón $\mathcal{J}(\omega) \to M$ compatible con casi estructuras complejas, con fibra $\mathcal{J}_p = \{ \text{complex structures of } T_pM \text{ compatible with } \omega_p \}.$ Nuestro espacio de $\mathcal{J}$ es entonces el espacio de las secciones de dicho paquete.

Trabajo fiberwise, podemos ver que tenemos un bijection $\mathcal{J}_p \cong Sp_{2n}/U(n),$, por lo que nos podría dejar el $\mathcal{J}_p$ heredar la topología de ese espacio homogéneo. Es allí una manera natural, entonces, para la construcción de una topología en $\mathcal{J}$ el uso de las topologías en las fibras $\mathcal{J}_p?$

De manera más general, hay una forma natural de topologize el espacio de secciones de un vector compuesto que se aplica a este escenario?

Por último, ¿cómo se podía construir el paquete de $\mathcal{J}(\omega)$ de las fibras y de la base del espacio? Supongo que uno podría utilizar el haz de fibras de construcción teorema, pero entonces se necesitan mapas de transición.

Answer 1

El espacio de secciones suaves de un paquete es un subespacio del espacio de suave mapas de la base para el espacio total. El natural de la topología es entonces la topología de subespacio una vez que sabemos cómo topologize el espacio de suave mapas entre los dos liso colectores. Hay muchos naturales de topologías en un espacio de este tipo, dependiendo de cómo muchos derivados usted desea realizar un seguimiento de. El más áspero topología compacto-abierta de la topología, en el espacio de continua mapas. El siguiente truco es para incrustar el objetivo de colector en algún espacio Euclidiano. Entonces usted también tiene $C^k$-topología para cada una de las $k$ donde se requieren la convergencia uniforme sobre compactos de (todos) los primeros a $k$ derivadas parciales. Por último, también puede utilizar el $C^\infty$-topología.

Answer 2

El teorema de Darboux nos permite elegir una cubierta $\{(U_{\alpha},\phi_{\alpha})\}_{\alpha\in A}$ $M$ por coordinar gráficos que $\omega$ restringido a $U_{\alpha}$ $\sum_{i=1}^{n} dx_{\alpha}^{i}\wedge dy_{\alpha}^{i}$ de coordenadas locales,$(x_{\alpha}^{1},\dots,x_{\alpha}^{n},y_{\alpha}^{1},\dots,y_{\alpha}^{n})$$U_{\alpha}$$\phi_{\alpha}$.

La idea es que en lugar de la definición de la topología en ${\cal J}$ en términos de las topologías en las fibras ${\cal J}_{p}$$p\in M$, podemos definir la topología en ${\cal J}$ en términos de las topologías sobre la restricción del paquete de ${\cal J}$ a los diversos $U_{\alpha}$'s.

La restricción de ${\cal J}$ $U_{\alpha}$es, como un conjunto, en bijection (a través de $\phi_{\alpha}$) con el conjunto de casi todas las estructuras complejas compatible con el estándar de la forma simpléctica en $\mathbb{R}^n$. Ahora, suponiendo que tenemos un adecuado topología en el set de casi todas las estructuras complejas compatible con el estándar de la forma simpléctica en $\mathbb{R}^n$, podemos definir una única topología en la restricción de que el bulto ${\cal J}$ $U_{\alpha}$de manera tal que el bijection de la frase anterior es un homeomorphism. Finalmente, podemos definir a la $U\subseteq {\cal J}$ estar abierto (donde ${\cal J}$ es el paquete de casi todas las estructuras complejas en $M$) si la intersección de $U$ con la restricción de ${\cal J}$ $U_{\alpha}$está abierto para todos los $\alpha\in A$.

Os dejo como ejercicio para determinar un adecuado topología en el set de casi estructuras complejas en $\mathbb{R}^n$ compatible con el estándar de la forma simpléctica.

Tenga en cuenta que la forma en que se ha definido la topología en ${\cal J}$ en este caso no es del todo distinto a la forma en topologías definidas en fibra (y vector de paquetes) en general. Por ejemplo, eche un vistazo a "Vector Haces y la K-teoría" por Allen Hatcher donde se define muchas de las construcciones sobre el vector de paquetes (como la suma directa, producto tensor, etc.) - a nivel local, esto se puede hacer así como sobre el uso adecuado como banalizaciones, y luego se puede pasar a la global caso también, como lo he hecho anteriormente.

Espero que esto ayude!