Definir$\Bbb{Q}$ sin el axioma del infinito

Question

(TL;DR versión: quiero una definición significativa de $\Bbb{Q}$ sin $\sf{Inf}$.)

En la "convencional" de la construcción de los racionales, definimos $\Bbb{Q}$ como sigue:

• $\omega$ es el primer ordinal límite, el cual puede ser definido con o sin el Axioma de Infinitud.
• $\cal{Z}=\omega\times\omega/\sim$ donde $\sim$ es una relación de equivalencia definida por $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$ el uso de ordinales, además de en $\omega$. Estos forman la pre-enteros.
• $\cal{Q}=\cal{Z}\times(\omega-\{\emptyset\})/\approx$ donde $(a,b)\approx(c,d)\iff ad=bc$ el uso de la multiplicación sobre la obvia interpretación de $\cal{Z}$$\Bbb{Z}$$\omega-\{\emptyset\}$$\Bbb{N}^*$. Estos son los pre-racionales.
• $\Bbb{R}=\{x\mid\emptyset\subset x\subset\cal{Q}\wedge \forall y\in\cal{Q}\,(\exists z\in x\ y<z\to y\in x)\}$ es relativamente simple definición de los reales en términos de Dedekind cortes (aunque se puede sustituir fácilmente a este paso con una definición a través de secuencias de Cauchy o algún otro método, si así lo quería). (Estoy asumiendo $<$ ha sido definido de una manera obvia en $\cal{Q}\times\cal{Q}$.)
• Después de haber definido $+,-,\times,/$$\Bbb{R}\times\Bbb{R}$, nos encontramos con $0$ como la única $x$ tal que $x+x=x$ $1$ como la única $x\ne0$ tal que $x^2=x$.
• A continuación, $\Bbb{N}_0$ es el cierre de $\{0,1\}$ bajo $+$, e $\Bbb{N}^*=\Bbb{N}_0-\{0\}$.
• $\Bbb{Q}^{>0}$ es el cierre de $\Bbb{N}^*$ bajo $/$, e $\Bbb{Q}$ es el cierre de $\Bbb{Q}^{>0}$ bajo $-$.

He intentado ser lo más preciso posible en la construcción real desde el principio (podría decirse que demasiado), por lo que yo podría hacer mi notación inequívoca (en particular, parece ser $\Bbb{N}$ no tiene una interpretación coherente, por lo que he evitado su uso). Ahora se dice que la aritmética de Peano es capaz de hacer la mayoría de matemáticas que no requiere el infinito en cualquier "esencial", y, de hecho, $\sf{PA}$ puede ser comprobada en $\sf{ZF^\times=ZF-Inf}$. Sin embargo, la construcción anterior hace uso de $\sf{Inf}$ en varias maneras diferentes, y las siguientes surgen cuando se trabaja en $V_\omega$ (como un modelo de $\sf{ZF^\times}$):

• $\omega=\sf{On}$ ya no es un conjunto. Esto no es un problema per se, pero esto significa que $\cal{Z}$ $\cal{Q}$ no se establece más bien, lo que se espera.
• Los dos cociente conjunto de definiciones de $\cal{Z}$ $\cal{Q}$ cada reunir infinidad de elementos (es decir,$0_{\cal Z}=\{(0,0),(1,1),(2,2),\dots\}\notin V_\omega$), por lo que los elementos propios de las clases, y $\cal{Z}$ $\cal{Q}$ colapso a $\emptyset$.
• Asumiendo $\cal{Q}$ es de alguna forma "fija" y se espera que las propiedades son restaurados, cada elemento de a $\Bbb{R}$ es, asimismo, una infinita subconjunto de $\cal{Q}$ e lo $\Bbb{R}$ se derrumba a $\emptyset$, así como todos los dependientes de subconjuntos $\Bbb{N}_0$, $\Bbb{N}^*$, $\Bbb{Q}^{>0}$, y $\Bbb{Q}$.

Esto no es fortuito estado de cosas, ya que todos estos cuidadosamente construido conjuntos de colapso para nada! Ahora $\Bbb{R}$ es incontable, así que no esperes a la revisión de la definición, pero me gustaría recuperar lo suficiente de cualquiera de las $\Bbb{Q}$ o $\cal{Q}$ a hacer algo de álgebra (al menos en el campo de la estructura), sin necesidad de invocar $\sf{Inf}$ demostrar que los elementos de la $\cal{Q}$ existen. (Objetivo secundario: sería bueno si se pudiera construir $\Bbb{R}$ $\Bbb{Q}$ tal que $\Bbb{Q}\subseteq\Bbb{R}$, pero los elementos de $\Bbb{Q}$ existen en $V_\omega$ o restricción que, una definición de ${\cal Q}\subseteq V_\omega$ que es lo suficientemente robusto para construir $\Bbb{R}$, como se indica. Puntos de bonificación para la simplicidad de la definición).

Answer 1

Hay dos trucos que uno puede usar tanto en una forma muy similar.

1. Scott truco, porque todavía tenemos una función de clasificación todavía podemos definir el conjunto de los de menos rango en una particular clase de equivalencia.
2. Recuerde que $V_\omega$ satisface global de elección, que es, tenemos un canónica buen orden [del universo], la cual es definida internamente. El uso canónico bien el fin de que podamos elegir el menos en cada clase de equivalencia.

Ambos trucos que se utilizan en los mismos puntos en la misma forma. Así que en lugar de referirse a uno, voy a utilizar el "truco" que se adapta a la elección de truco, o cualquier otro compatible con la idea de tener conjuntos de representantes para la correcta clases.

Paso I: Los Números Enteros.

Sabemos que $\Bbb Z$ puede ser visto como un cociente de $\omega\times\omega$ con la equivalencia de la relación de $(a,b)\sim_Z(c,d)\iff a+d=b+c$. Observar que $\omega\times\omega\subseteq V_\omega$, y es definible en clase. Por lo tanto, podemos definir la relación de equivalencia.

Usando el truco, vamos a $\cal Z$ ser la clase de representantes, podemos definir la suma y la multiplicación como de costumbre, con un giro que volvemos de nuevo a nuestro representante elegido. Deje $\cal N$ el valor de la canónica de la incorporación de la $\omega$ a $\cal Z$, que es el de los representantes de $(n,0)$$n\in\omega$.

Paso II: Los racionales.

Ahora tenemos una clase de $\cal Z$ junto con dos operaciones, la suma y la multiplicación. Y sabemos que los racionales se pueden definir a partir de los enteros mediante la adopción de un cociente más de $\Bbb{Z\times N\setminus\{0\}}$ definido por $(a,b)\sim_Q(c,d)\iff ad=bc$.

Exactamente de la misma manera como antes, uno puede darse cuenta de que $\cal{Z\times N}$ es definible clase, y usar el truco de nuevo para definir una clase $\cal Q$, y sus operaciones y otras cosas.

De nuevo debo señalar que definimos las operaciones para tener un pequeño giro, porque esas no son las operaciones sobre conjuntos que son clases de equivalencia, necesitamos refinar sus definiciones, para devolver la correcta representante, pero esta no es una tarea difícil.

Curiosamente, si uno utiliza Scott, el truco de la entonces uno termina con $\cal Q$ como conjuntos de conjuntos de pares de números enteros; mientras que el uso de la global elección argumento de uno termina con un subconjunto de a $\omega\times\omega$.