Usted parece estar confundiendo las nociones de libre módulo base, la generación de set, y submódulo generado por un conjunto.
Submódulo generado por un subconjunto, y la generación de conjuntos de
Deje $M$ ser un módulo dado, y deje $S\subseteq M$ ser un subconjunto de a $M$. Definimos el submódulo de $M$ generado por $S$, que se denota por a $\langle S\rangle$, como el más pequeño del submódulo de $M$ que contiene $S$. Equivalentemente, desde la intersección de una arbitraria de la familia de los submódulos de $M$ es de nuevo un submódulo de $M$, podemos definir
$$\langle S\rangle = \bigcap_{N\leq M, S\subseteq N} N,$$
cuando la intersección es sobre todos los submódulos de $M$ que contiene $S$.
Tenga en cuenta que su definición está teniendo lugar en el contexto de un determinado módulo $M$. Estamos siempre manteniéndose dentro del módulo de $M$. La intersección es la intersección de todos los submódulos de $M$ que contengan $S$. Estamos sólo teniendo en cuenta los elementos y módulos que figuran en el $M$ y tienen una estructura compatible con $M$.
Ahora, el de arriba es el "top-down" descripción de la submódulo generado por $M$. Como es habitual en esta situación (ver enlace arriba), también queremos un "bottoms up" descripción de $\langle S\rangle$. Que es proporcionado por el siguiente, que es, creo, lo que en realidad está tratando de demostrar:
Teorema. Deje $M$ $R$- módulo, y deje $S\subseteq M$ ser un subconjunto. A continuación, $\langle S\rangle$ se compone exactamente de todos los elementos de a $M$ de la forma
$$\sum_{i=1}^n r_is_i,$$
para algunos $s_1,\ldots,s_n\in S$$r_1,\ldots,r_n\in R$.
Prueba. Deje $T$ ser el conjunto de todos los elementos de a $M$.
Tenga en cuenta que si $N$ es cualquier submódulo de $M$ tal que $S\subseteq N$, entonces necesariamente tenemos $T\subseteq N$; de hecho, vamos a $x\in T$. Entonces no existe $s_1,\ldots,s_n\in S$ $r_1,\ldots,r_n\in R$ tal que $x = r_1s_1+\cdots + r_ns_n$. Desde $S\subseteq N$ por supuesto, tenemos $s_1,\ldots,s_n\in N$. Desde $N$ es un submódulo, también debemos tener $r_1s_1+\cdots + r_ns_n\in N$. Por lo tanto, $x\in N$, y hemos demostrado que $T\subseteq N$.
Eso significa que $T$ está contenido en $\langle S\rangle$: debido a $\langle S\rangle$ es un punto de intersección, y $T$ está contenida en cada conjunto que se cruzaba. Por lo $T\subseteq \langle S\rangle$.
Con el fin de mostrar que el $\langle S\rangle\subseteq T$, es suficiente para demostrar que el conjunto de $T$ es un submódulo de $M$ que contiene $S$. Porque si este es el caso, entonces la $T$ va a ser uno de los conjuntos que se cruzaban en la definición de $\langle S\rangle$, y por lo tanto $\langle S\rangle$ será necesariamente contenida en $T$.
Por eso queremos demostrar que $T$ es un submódulo de $M$. Está contenida en $M$ porque $M$ es un módulo, $S\subseteq M$, por lo que siempre que $s_1,\ldots,s_n\in S$$r_1,\ldots,r_n\in R$, vamos a tener $r_1s_1+\cdots+r_ns_n\in M$. $T$ no está vacío, ya que la suma sin sumandos (al $n=0$) es, por definición, igual a $0$, el elemento de identidad de $M$. (Si $S\neq\varnothing$, entonces se puede concluir que $T\neq\varnothing$, teniendo $n=1$, $s_1\in S$ arbitraria, y teniendo en cuenta la suma con $r_1=0_R$, el cero de $R$).
Ahora supongamos que $x$ $y$ son elementos de $T$,$r\in R$. Queremos mostrar que $x-ry\in T$. Si podemos hacer eso, esto va a demostrar que $T$ es un submódulo de $M$. Desde $x\in T$, $s_1,\ldots,s_n\in S$ $r_1,\ldots,r_n\in R$ tal que $x=r_1s_1+\cdots+r_ns_n$. Desde $y\in T$, $s'_1,\ldots,s'_m\in S$ $r'_1,\ldots,r'_m\in R$ tal que $y=r'_1s'_1+\cdots + r'_ms'_m$. Lo único que sabemos acerca de los conjuntos de $\{s_1,\ldots,s_n\}$ $\{s'_1,\ldots,s'_m\}$ es que están contenidas en $S$; pueden ser iguales, distintos, uno podría estar contenida en la otra, o ninguna de las anteriores. Tenga en cuenta que la definición de $T$ dice que hay algunos elementos de $S$ que tienen una cierta propiedad, lugares sin condiciones sobre los elementos (ni siquiera ellos son diferentes!) aparte de ser contenida en $S$.
Ahora tenemos:
$$\begin{align*}
x-ry &= \Bigl( r_1s_1+\cdots+r_ns_n\Bigr) -r\Bigl( r'_1s'_1+\cdots + r'_ms'_m\Bigr)\\
&= r_1s_1 + \cdots + r_ns_n + (-rr'_1)s'_1 + \cdots + (-rr'_m)s'_m.
\end{align*}$$
Este es un elemento de $T$: tenemos $s_1,\ldots,s_n,s'_1,\ldots,s'_m$ son elementos de $S$, $r_1,\ldots, r_n, -rr'_1,\ldots,-rr'_m$ son elementos de la $R$, y estamos tomando la correspondiente suma de múltiplos de elementos de $S$. Por lo tanto, $x-ry\in T$ al$x,y\in T$$r\in R$. Por lo $T$ es un submódulo de $M$.
Por último, tenemos que mostrar que $S\subseteq T$. De hecho, si $s\in S$, luego de tomar $n=1$, $r_1=1_R$, y $s_1=s$, obtenemos $s = r_1s_1\in T$.
Por lo $T$ es un submódulo de $M$ que contiene $S$. Por lo tanto, tenemos:
$$\langle S\rangle = \bigcap_{N\leq M, S\subseteq N} N = T\cap\bigcap_{N\leq M, S\subseteq N} N \subseteq T,$$
por lo $\langle S\rangle \subseteq T$. Puesto que ya han demostrado que $T\subseteq \langle S\rangle$, llegamos a la conclusión de que $T=\langle S\rangle$, como se desee. $\Box$
Un par de cosas a considerar:
La definición de $T$ lugares no hay restricciones en el tamaño de $S$. Softonic no requieren la expresión de suma de "utilizar" todos los elementos de a $S$, sólo algunos. Si $S$ es finito, se podría describir a cada elemento de a $T$ en términos de todos los elementos de a $S$, pero no tenemos.
La definición de $T$ no impone restricciones sobre los elementos $s_1,\ldots,s_n$ que se utilizan para expresar un elemento de $T$, a excepción de que deben ser los elementos de o. Podrían ser el mismo elemento, que se repite $n$ veces, o todas diferentes; o la repetición de algunos, o ninguno.
Ahora: dado un módulo de $M$ y un subconjunto $S\subseteq M$, podemos decir que el $S$ genera $M$ si y sólo si $\langle S\rangle = M$.
Si $M$ es un módulo, y $S\subseteq M$, $S$ siempre genera $\langle S\rangle$. Cada módulo tiene un set de generación de energía; de hecho, muchos. Siempre podemos tomar $S=M$; la generación de conjuntos no son, en general, único: si $S$ genera $M$, e $S\subseteq S'\subseteq M$, $S'$ también genera $M$. Y no puede ser una "pequeña" generación del sistema, o incluso la "mínima" de los grupos electrógenos. A veces hay, a veces no hay.
Bases
Las Bases son tipos especiales de grupos electrógenos.
Deje $M$ ser un módulo. Un subconjunto $B\subseteq M$ $M$ es una base para $M$ si y sólo si satisface dos condiciones:
- $B$ genera $M$; es decir, $\langle B\rangle = M$; y
- $B$ "independiente": si $b_1,\ldots,b_n$ son cualquier conjunto finito de pares distintos elementos de $B$, e $r_1,\ldots,r_n$ son elementos de $R$ tal que
$$r_1b_1+\cdots+r_nb_n = 0,$$
a continuación,$r_1=r_2=\cdots=r_n=0$.
De nuevo, tenga en cuenta que todo esto está teniendo lugar en el contexto de un determinado módulo. Hay varias formas equivalentes de decir $B$ es una base; por ejemplo, se puede decir que el $B$ es una base si y sólo si cada elemento de a $M$ se puede expresar de forma única como suma de un valor distinto de cero múltiplos de un número finito de elementos de $B$. Una base puede o no puede existir para cualquier módulo de $M$.
Libre de módulos y libre de grupos electrogenos
Deje $X$ ser un conjunto. Un módulo de $M$ se dice que es un módulo en $X$ si y sólo si $X\subseteq M$ $M$ satisface la siguiente condición:
- Dado cualquier módulo de $N$ y cualquier (conjunto teórico; es decir, no necesariamente un módulo homomorphism) la función $f\colon X\to M$, no existe un único moudle homorphism $\mathcal{F}\colon M\to N$ tal que $\mathcal{F}(x) = f(x)$ todos los $x\in X$.
Tenemos el siguiente resultado (que es donde, creo, se confundió):
Teorema. Deje $M$ ser un módulo, y deje $X\subseteq M$. A continuación, $M$ es un módulo en $X$ si y sólo si $X$ es una base para $M$.
Ahora bien, dado cualquier conjunto de $X$ (finito, contables, o infinito, no importa), no siempre es un "módulo de $X$". Uno puede construir como el conjunto de todos formal sumas de múltiplos de elementos de $X$, o como una suma directa, o cualquier otro número de maneras. Pero aquí vamos a empezar con un conjunto, y se construye un módulo (a diferencia de ot la noción de "submódulo generado", donde se inicia con un módulo).
Finalmente, podemos decir que un módulo de $M$ es gratis si no existe $X\subseteq M$ tal que $X$ es una base para $M$ (equivalentemente, que $M$ es gratis en la $X$).
También, dado un módulo de $M$ y un subconjunto $X$ si $X$ es independiente, entonces por el teorema anterior, podemos concluir que $\langle X\rangle$ es un módulo en $X$; esto puede o no ser igual a todos los de $M$. Pero, de nuevo, aquí vamos a empezar con un módulo, no con un conjunto.
