¿Por qué la bodega siguiente desigualdad: -
ps
previsto $$\sqrt 2 \frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\Gamma (n/2)} -\sqrt 2 \frac {\Gamma ((m+1)/2)}{\Gamma (m/2)} \ge \sqrt n - \sqrt m $ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $H(x)$ ser la extendida Armónica de los Números $$ H(x)=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)\etiqueta{1} $$ y $$ H'(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k+x)^2}\etiqueta{2} $$ El uso de esta respuesta, obtenemos $$ \begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log\left(\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{k+x-1}-\frac1{k+x-1/2}\right)\\[6pt] &=H(x-1/2)-H(x-1)\tag{3} \end{align} $$
Teorema 1: $\dfrac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}$ es estrictamente cóncava para $x\gt-1/2$.
Prueba: Desde $H(x)$ es estrictamente cóncava, tenemos $$ \begin{align} H(x-1/2)-H(x-1) &=H(x+1/2)-H(x)-\frac1{x+1/2}+\frac1x\\ &\lt\frac12(H(x+1/2)-H(x-1/2))+\frac1{x(2x+1)}\\ &=\frac{x+1}{x(2x+1)}\tag{4} \end{align} $$ Además, desde el $H'(x)$ es estrictamente convexa, $$ \begin{align} H'(x-1/2)-H'(x-1) &=H'(x+1/2)-H'(x)+\frac1{(x+1/2)^2}-\frac1{x^2}\\ &\lt\frac12(H'(x+1)-H'(x))-\frac{4x+1}{x^2(2x+1)^2}\\ &=-\frac1{2(x+1)^2}-\frac{4x+1}{x^2(2x+1)^2}\tag{5} \end{align} $$ El uso de $(3)$ dos veces, a continuación,$(4)$$(5)$, dice que, para $x\gt-1/2$ $$ \begin{align} &\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\\[6pt] &=\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\left[\big(H(x-1/2)-H(x-1)\big)^2+H'(x-1/2)-H'(x-1)\right]\\ &\lt\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\left[\frac{(x+1)^2}{x^2(2x+1)^2}-\frac1{2(x+1)^2}-\frac{4x+1}{x^2(2x+1)^2}\right]\\ &=-\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\frac{2x^3+4x^2+7x+4}{2x(x+1)^2(2x+1)^2}\\[6pt] &\lt0\tag{6} \end{align} $$ QED
Corolario 1: $\dfrac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\gt\sqrt{x-1/4}$
Prueba: $\dfrac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}$ es cóncava; por lo tanto, $$ \begin{align} \frac{\Gamma(x+1/2)^2}{\Gamma(x)^2} &\gt\frac12\left[\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x-1/2)}+\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+1/2)}\right]\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\\[6pt] &=x-1/4\tag{7} \end{align} $$ QED
Teorema 2: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log\left(\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\right)\gt\frac12\left(\frac1{x-1/4}-\frac1{12}\frac1{(x-1/4)^3}\right)$
Prueba: Debido a $(k+x-3/4)^2=(k+x-1)(k+x-1/2)+\frac1{16}$, tenemos $$ \begin{align} H(x-1/2)-H(x-1) &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{k+x-1}-\frac1{k+x-1/2}\right)\\ &=\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k+x-1)(k+x-1/2)}\\ &\gt\frac12\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k+x-3/4)^2}\\ &=\frac12H'(x-3/4)\tag{8} \end{align} $$ Mientras $x\gt1/2$, $$ \begin{align} &\left(\frac1{x-1/2}-\frac1{x+1/2}\right)-\frac1{12}\left(\frac1{(x-1/2)^3}-\frac1{(x+1/2)^3}\right)\\ &=\frac1{x^2-1/4}-\frac1{12}\frac{3x^2+1/4}{(x^2-1/4)^3}\\ &=\frac{12(x^2-1/4)^2-3(x^2-1/4)-1}{12(x^2-1/4)^3}\frac{4(x^2-1/4)+1}{4x^2}\\ &=\frac{48(x^2-1/4)^3-7(x^2-1/4)-1}{48(x^2-1/4)^3}\frac1{x^2}\\ &\lt\frac1{x^2}\tag{9} \end{align} $$ El uso de $(9)$$(2)$, obtenemos que para $x\gt-1/2$, $$ H'(x)\gt\frac1{x+1/2}-\frac1{12}\frac1{(x+1/2)^3}\etiqueta{10} $$ La combinación de $(3)$, $(8)$, y $(10)$ demuestra el teorema.
QED
Corolario 2: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\gt\frac12\left(\frac1{\sqrt{x-1/4}}-\frac1{12}\frac1{\sqrt{x-1/4}^5}\right)$
Prueba: multiplicar los resultados de Corolario 1 y el Teorema 2.
QED
Corolario 3: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}\gt\frac1{2\sqrt{x}}$
Prueba: Para $x\ge16/15$, $$ \frac1{\sqrt{x-1/4}}-\frac1{12}\frac1{\sqrt{x-1/4}^5}\gt\frac1{\sqrt{x}}\etiqueta{11} $$ Corolario 2 en relación con el $(11)$ demuestra Corolario 3 $x\ge16/15$.
QED
La proposición en el Corolario 3 es válido para $x\ge1/5$, pero la prueba anterior sólo funciona para $x\ge16/15$.
Respuesta a la Pregunta
El Valor medio Teorema dice que hay un $z$$x$$y$, de modo que $$ \frac{\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x)}-\frac{\Gamma(y+1/2)}{\Gamma(y)}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\frac{\Gamma(z+1/2)}{\Gamma(z)}}{\frac1{2\sqrt{z}}}\gt1\etiqueta{12} $$ La desigualdad en $(12)$ es simplemente Corolario 3. Enchufe $x=n/2$ $y=m/2$ a $(12)$ y se obtiene la desigualdad en la pregunta.
