¿Cuáles son$\Sigma _n^i$,$\Pi _n^i$ #% y% #%?

Question

A veces la lectura en la wikipedia o en este sitio (y en un contexto muy diferente como la topología, la aritmética y la lógica) he encontrado estos símbolos $\Sigma _n^i$, $\Pi _n^i$ y $\Delta _n^i$. Son, probablemente, las clases de algo, pero no sé su nombre y yo no era capaz de encontrar algo que puedo entender (que he leído acerca de hierachies, pero hierachies de qué y, en el campo de las matemáticas?)

Espero que alguien me pueda dar una sencilla explicación de estas cosas (las clases?), cómo se relacionan, en qué campo(s) de matemáticas de estos conceptos aparecen y una definición formal (o un enlace).

Gracias de antemano. y me disculpo por los errores (yo estoy usando un traductor).

Actualización

¿Cuál es el significado de la parte superior del índice de $0$? En la lógica de uso de esta notación $\Sigma_n^1$ es el hieracy de las fórmulas del lenguaje de segundo orden de la aritmética. Intuitivamente se podría pensar que la hierchies $\Sigma _n^i$, $\Pi _n^i$ y $\Delta _n^i$ son los hierachies de las fórmulas del lenguaje de $(i−1)$-fin de la aritmética..probablemente me equivoque pero, ¿cómo este índice está relacionado con otros campos?

Answer 1

Una notación similar aparece en

• (En lógica) Aritmética jerarquía o Analítico de jerarquía
• (En el descriptivo de la teoría de conjuntos) Borel jerarquía o Proyectiva de la jerarquía de
• (En ciencias de la computación) el Polinomio de jerarquía

Por lo tanto, depende del contexto. A menudo (pero no siempre), estos símbolos indican que la jerarquía de objeto tiene el siguiente diagrama:

El significado de las flechas depende del contexto. Por ejemplo, en el Borel jerarquía, $\bf\Sigma$ son familias de conjuntos cerrados en $\sigma$-unión, $\bf \Pi$ son familias cerrado bajo $\sigma$-intersección, $\bf\Delta$ está cerrada en ambos, y las flechas en el diagrama indican la inclusión.