Pregunta de prueba sobre series infinitas

Question

Sea$(a_n)$ una secuencia de números no negativos tales que$a_1 > 0$ y$\sum a_n$ diverge. Dejar $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Demuestre que, para todo$n \geq 2$,$$\frac{a_n}{S_n^2} \leq \frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}$ $

¿Cómo empezaría esta prueba? Lo he estado mirando y estoy muy atascado. Todo lo que sé hasta ahora es que$S_n-S_{n-1}=a_n$. ¿De dónde viene la desigualdad?

Answer 1

Algunos manipulación de la desigualdad

ps

Desde$$\frac{a_n}{S_n^2} \leq \frac{1}{S_{n-1}} - \frac{1}{S_n} = \frac{S_n - S_{n - 1}}{S_{n-1}S_n} = \frac{a_n}{S_{n-1}S_n}$ esto es equivalente a$a_n \geq 0$ $

Desde$$S_{n-1}S_n \leq S_n^2$ esto es equivalente a$S_n \gt 0$ $

Esto es cierto ya que$$S_{n-1} \leq S_n$.

Answer 2

Un comienzo: Tenga en cuenta que$$a_n=S_n-S_{n-1}.\tag{1}$ $ Eso se cumple porque$$S_n=(a_1+\cdots+a_{n-1})+a_n=S_{n-1}+a_n.$ $ La igualdad (1) y alguna manipulación es todo lo que necesitará. Traiga su lado derecho a un denominador común.

Answer 3

Desde$a_n$ es no negativo,$S_n$ es no decreciente.

Así$S_{n-1} \leqslant S_n \implies 1/S_n \leqslant 1/S_{n-1},$ #% y% # $%

Por lo tanto, la$$\frac{a_n}{S_n^2} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n^2}\leqslant \frac{S_n - S_{n-1}}{S_{n-1}S_n} = \frac1{S_{n-1}} - \frac1{S_n}.$ tenemos

ps

Así, la secuencia de sumas parciales está acotada y aumentando (ya que los términos no son negativos) y la serie converge.

Answer 4

Usted puede probar este resultado por inducción. En primer lugar, en el caso$n=2$, \begin{align*} \frac{a_2}{S^2_{2}} \leq \frac{1}{S_{1}}-\frac{1}{S_{2}}, \end {align *} que sigue a ese$\frac{1}{S_{1}}-\frac{1}{S_{2}}= \frac{S_2-S_1}{S_1S_{2}}=\frac{a_2}{S_1S_{2}}$ y$S_2 \geq S_1$.

Supongamos que \begin{align*} \frac{a_n}{S^2_{n}} \leq \frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_{n}}. \end {align *} Then \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{S^2_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{(S_{n}+a_{n+1})^2} \leq \frac{a_{n+1}}{S_{n}S_{n+1}}=\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n+1}}. \end {align *} La prueba se ha completado.

Answer 5

Tienes$S_n^2(1/S_n-1/S_{n-1})\ge a_n$, o$S_n/S_{n-1}(S_n-S_{n-1}) \ge a_n$. En última instancia,$S_n/S_{n-1}a_n \ge a_n$ or$S_n \ge S_{n-1}$, lo cual es cierto, ya que$S_n-S_{n-1} = a_n > 0$. Espero que esto ayude.