Encontrar todas las soluciones enteros (n, m) de la ecuación$(n+1)(2n+1)=10m^2$

Question

Lo que estoy pensando es que desde el lado derecho contiene un $10$, así que al menos uno de los factores $(n+1)$ O $(2n+1)$ debe ser divisible por 2. $(2n+1)$ está fuera de la cuestión, lo que significa que $(n+1)$ debe ser, o $n$ debe ser impar.

Si $(n+1)$ es divisible por $5$, entonces :

$n+1 = 5k_1 = 2k_2$ (para algunos ($k_1,k_2\in {\mathbb Z}$))

No sé qué hacer con ese $m^2$ .

¿Alguien puede decirme cómo proceder ?

EDIT : he encontrado una factorizados equivalente para la instrucción : $(n+3m)(n-3m) + (n-m)(n+m) + (3n + 1) =0 $ . Es algo útil ?

Answer 1

Deje $x=n+1$. La ecuación se convierte en $$x(2x-1)=10m^2 \\ 2x^2-x-10m^2=0 \\ x=\frac{1 \pm \sqrt{1+80m^2}}{4}$$

De ello se desprende que $1+80m^2$ debe ser un cuadrado perfecto. Así $$y^2=1+80m^2 \Rightarrow\\ y^2-80m^2=1$$

Esta es la ecuación de Pell, y tiene soluciones. Ahora, para cada solución $(y,m)$, $y$ debe ser impar. Luego, cada una de las $1+y, 1-y$ es aún, y su suma es $2$, lo que significa que exactamente uno de ellos es divisible por $4$ (a mirarlos $\pmod{4}$).

Que valor particular conduce a un valor entero de $x$.

Answer 2

Tengo este. Tenemos $(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1=10m^2$, si se multiplica la última ecuación por $8$ obtenemos $16n^2+24n+8=80m^2$, pero podemos escribir esta ecuación como $$(4n+3)^2-1=80m^2.$$

Así que si establecemos $4n+3=x$ tenemos la Pell-ecuación de $x^2-80m^2=1$. La solución fundamental de esta ecuación es$x=9$$m=1$, por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas recursivas $$x_{r+1}=9x_r+80m_r,$$ $$m_{r+1}=x_r+9m_r,$$ where $r\en\Bbb{N}$. Therefore $$n=\frac{9x_r+80m_r-3}{4}=\frac{9x_r-3}{4}+20m_r.$$

Esto significa que, para tener la $n\in\Bbb{Z}$ debemos tener $9x_r\equiv 3\pmod 4$, equivalente a $x_r\equiv 3\pmod 4$. Ahora, de$x_{r+1}=9x_r+80m_r$, es fácil demostrar por inducción que $x_r\equiv 1\pmod4$ por cada $r\in\Bbb{N}$, lo $-x_r\equiv 3\pmod 4$ y esto nos llevaría a una infinidad de soluciones, es decir, por cada $x_r$ que es una solución de $x^2-80m^2=1$, sólo tenemos que tomar la $-x_r$ para tener $n\in\Bbb{Z}$. Por tanto, todas las soluciones se $$(n,m)=\Bigl(\frac{-x_r-3}{4}, \pm m_r\Bigr).$$

Answer 3

Desde $n+1$ $2n+1$ son coprime, que debe ser de la forma $\pm k_1^2$ $\pm 10k_2^2$ (opción a) o $\pm 2k_1^2$ $\pm 5k_2^2$ (opción B). Vamos a explorar opciones con más detalle.

(A) Desde $2n+1$ es impar, no puede ser divisible por 10, por lo tanto es igual a $\pm k_1^2$, e $n+1=\pm10k_2^2$.
Positiva sucursal (es decir, la interpretación de ambos $\pm$+): $20k_2^2-1=k_1^2$. Esta cosa no puede tener soluciones modulo 4, por lo que no puede tener solución.
Negativo rama: $-20k_2^2-1=-k_1^2$, lo $20k_2^2+1=k_1^2$. Esta es una ecuación de Pell, y produce una secuencia infinita de soluciones: $(n,m)=(-1,0)$,$(-41,18)$,$(-12\,961,5\,796)$, $(-4\,173\,161,1\,866\,294)$ y así sucesivamente.

(B) Desde $2n+1$ es impar, es igual a $\pm5k_1^2$, e $n+1=\pm2k_2^2$.
Positiva sucursal: $4k_2^2-1=5k_1^2$. Esta cosa no puede tener soluciones modulo 4, por lo tanto no puede tener solución.
Negativo rama: $-4k_2^2-1=-5k_1^2$, lo $4k_2^2+1=5k_1^2$. Esto es de nuevo una ecuación de Pell (tal vez generalizada o algo), y se produce otra secuencia infinita de soluciones: $(n,m)=(-3,1)$,$(-723,323)$, $(-232\,563,104\,005)$ y así sucesivamente.

Huelga decir que usted puede poner un signo menos delante de $m$ en cualquier solución.