Entiendo perfectamente cómo aplicar la regla de l'Hospital, y cómo demostrarlo, pero nunca he grokked el teorema. ¿Por qué es que no podemos esperar que $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$ pero sólo cuando se cumplan determinados criterios, como $f(x)$ $g(x)$ aproxima $0$$x \to a$? Nunca he encontrado la prueba del teorema a arrojar mucha luz sobre este (pensé que esto podría ser debido a que no tengo mucho de un sentido intuitivo de la razón del Valor medio de Cauchy Teorema sostiene, tampoco). Siempre me ha intrigado de cómo l'Hôpital (Bernoulli?) jamás descubierto este teorema, más allá de que accidentalmente descubre que tiene en algunos casos y, a continuación, la generalización de un teorema. Por lo tanto, si usted tiene alguna idea en cuanto a que el teorema de vino, y por qué tiene sentido intuitivo, se lo agradecería si has compartido!
Respuestas
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Hay un caso en el que el resultado es evidente: Supongamos que $f,g$ son continuamente diferenciable en a$a$,$g'(a)\ne0$, e $f(a)=g(a)=0$. Bajo estos supuestos, $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f'(a)}{g'(a)}. $$ Por supuesto, bajo el supuesto de que $f',g'$ son continuas en a $a$, este último también es $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Tenga en cuenta que esto es sólo un caso particular del resultado, pero es uno de los más utilizados los casos, y es ampliamente aplicable, por ejemplo, también tiene de funciones analíticas en un dominio abierto en el plano, en un caso sin duda no cubiertos por la costumbre (real valorados) argumento.
La prueba del teorema es una extrapolación de este caso, en realidad: Se nota que no es necesario asumir que $f',g'$ son continuas en a $a$, o incluso que se definen allí, ya que las diferencias $f(x)-f(a)$, $g(x)-g(a)$ están relacionados con derivados, mediante el valor medio teorema, por lo que si $f(a)=0=g(a)$, tenemos $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(t_x)}{g'(t_x)} $$ for some $t_x$ between $x$ and $$, so if $f'(t)/g'(t)$ converges as $t\$, entonces también lo hace la muestra de la fracción.
La clave es realmente el valor medio teorema. Una vez que uno ve que esto es todo lo que se necesita en el caso de $f(a)=g(a)=0$, el resto de los casos se pueden prever, y el argumento adaptado para cubrir ellos.
Como usted dice, la regla de l'Hôpital es debido a Bernoulli, ver aquí. Usted también podría estar interesado en estas diapositivas por Ádám Besenyei en la historia del valor medio teorema. Junto con la historia de el resultado, la intuición geométrica discutido no puede ayudar a encontrar el resultado más intuitiva así.
Supongamos $f(x),g(x)\to0$$x\to a$. Mira el punto de $(a,0)$ bajo un microscopio. Los gráficos de $f$ $g$ en que la vista se ven como líneas rectas. Recordemos que $dx$ es un infinitamente pequeño incremento de $x$, que se parece a $0$ menos que el uso de este microscopio. Las pendientes de estas líneas se ven bajo el microscopio son $$ \frac{f(a+dx)-f(a)}{dx} = \frac{f(a+dx)}{dx}\text{ y, de igual modo }\frac{g(a+dx)}{dx}. $$ La relación de sus pendientes es, por tanto, $$ \frac{f(a+dx)}{g(a+dx)} $$ que es lo que en notación moderna que llamamos $$ \lim_{x\a}\frac{f(x)}{g(x)}. $$ Pero se trata de la relación de sus laderas, por lo que es $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Para simplificar la respuesta de @Michael aún más, brevemente poner infinitesimal $\epsilon$ tenemos que $f(\epsilon)$ es indistinguible (en el sentido adecuado) de $\epsilon f'(\epsilon)$ y semejantemente para $g$ y por lo tanto $\frac{f(\epsilon)}{g(\epsilon)}$ es indistinguible de la $\frac{\epsilon f'(\epsilon)}{\epsilon g'(\epsilon)}=\frac{f'(\epsilon)}{g'(\epsilon)}$. Puesto que la OP estaba interesado específicamente en grokking esto tal vez podría ayudar.
