Divisibilidad del producto (ad bc) (ac bd)

Question

Demuestre que si$abcd|(ad+bc)(ac+bd)$, entonces$\frac{ac}{bd}$ es un cuadrado perfecto de un número racional. $a,b,c,d$ Son enteros positivos.

Estoy extremadamente perdido en cómo hacer este problema; ¿alguna ayuda?

Answer 1

Denotar $(ad+bc)(ac+bd)=kabcd.$

Sin pérdida de generalidad deje $(a,b)=1,(c,d)=1,a/b=s,c/d=t,$ a continuación, $(s+t)(1+\dfrac{1}{st})=k.$ $$s=\frac{\pm\sqrt{\left(-k t+t^2+1\right)^2-4 t^2}+k t-t^2-1}{2 t}.$$

Por lo que $$\left(-k t+t^2+1\right)^2-4 t^2=C^2,\\ (\frac{-k t+t^2+1}{2})^2-(\frac{D}{2})^2=1.$$ Existen $m>n\in N,(m,n)=1$, de tal manera que $$\frac{-k t+t^2+1}{2}=\pm \frac{m^2+n^2}{2 mm},\\ \frac{D}{2}=\frac{m^2-n^2}{2 minutos}.\\ \frac{-k t+t^2+1}{2}=\frac{c^2-kcd+d^2}{2cd}=\pm\frac{m^2+n^2}{2 mm}$$ Ahora $(c^2-kcd+d^2,cd)=1,(m^2+n^2,mn)=1,$ por lo tanto $$c^2-kcd+d^2=\pm(m^2+n^2),cd=mn.\\ -k t+t^2+1=\pm (m^2+n^2)/d^2,\\ t=mn/d^2, D=(m^2-n^2)/d^2.$$ $$\frac{ac}{bd}=st=\frac{1}{2}(\pm D-(-k t+t^2+1))=\frac{1}{2d^2}(\pm (m^2-n^2)-\pm (m^2+n^2))\\ =(m/d)^2 \quad \quad (n/d)^2.\quad (st>0)$$