Hacer derivadas direccionales requieren vectores de dirección para tener unidad de longitud? Si es así, ¿por qué?

Question

Acabo de empezar a estudiar la derivada direccional del libro "Análisis Matemático", escrito por T. M. Apostol.Me parece que la derivada direccional es la generalización de la derivada parcial.Derivada parcial representa la tasa de cambio de una función debido a un pequeño cambio de una de las variables independientes que intervienen en donde direccionales derivada representa la tasa de cambio de la función, debido al pequeño cambio de un punto en el que el dominio a lo largo de cualquier dirección arbitraria.

Así, el concepto de derivada direccional es la siguiente :

Deje $\mathbf{f} : S \longrightarrow \mathbb R^{m}$ ser un vector de valores de la función definida sobre $S \subset \mathbb R^{n}$.Supongamos que queremos averiguar la tasa de cambio de $\mathbf{f}$ cuando nos movemos desde un punto de $\mathbf{c}$ $S$ a cerca de un punto de $\mathbf{c} + \mathbf{u}$ a lo largo de un segmento de línea. Desde cada punto de la línea puede ser tomado como $\mathbf{c} + h\mathbf{u}$ algunos $h \in \mathbb R$.Así que podemos aprovechar $h$ lo suficientemente pequeño para que $\mathbf{c} + h\mathbf{u}$$S$.A continuación, la cantidad

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\mathbf{f}(\mathbf{c} + h\mathbf{u}) - \mathbf{f}(\mathbf{c})} {h}$$

si existe se llama la derivada direccional de $\mathbf{f}$ $\mathbf{c} \in S$ en la dirección de $\mathbf{u}$.

Pero me parece que algo de dificultad aquí.De acuerdo a la conferencia nota de mi maestro se considera que $||\mathbf{u}|| = 1$.Por esta razón, la derivada direccional de una función dada $\mathbf{f}$ a un punto a lo largo de algunos determinada dirección puede variar.Ahora tengo una pregunta.

"¿Hay algún importancia de considerar $||\mathbf{u}|| = 1$?"

Si la respuesta a mi pregunta es afirmativa entonces, ¿por qué?Esto crea un montón de problemas para mí.Por favor me ayude en la comprensión de este concepto.

Gracias de antemano.

Answer 1

La derivada direccional$\mathrm D_u f(x)$ puede considerarse como la derivada de $$ \ gamma (t) = f (x tu) $$ en$0$. Si permitimos$\lVert u \rVert \neq 1$, podemos definir$\phi(t) = f(x + tu/\lVert u\rVert)$. Entonces, $$ \ gamma '(t) = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} f (x tu) = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} LVert u \ rVert) \ frac {u} {\ | u \ |} \ right) = \ | u \ | \ Phi '(t) $$ que da lugar a diferentes derivadas direccionales a lo largo de la misma dirección . Esto puede ser indeseable.

Answer 2

Es una muy buena idea para ver $D_u f(x)$ como una función de la $u$, $x$ fijo. En el análisis convexo, resulta que si $f$ es convexo, entonces la función de $u \mapsto D_u f(x)$ es una función convexa de $u$, y de hecho es la función de apoyo del conjunto de $\partial f(x)$ (bajo suave de hipótesis). Esta es una hermosa conexión entre dos diferentes nociones de "derivados", que son útiles en el análisis convexo. Pero no podríamos hacer esta declaración si $u$ se requiere para ser un vector unitario.

Así que creo que el elegante / hermosa cosa a hacer es permitir a $u$ ser cualquier vector, no necesariamente un vector unitario.