encontrar el máximo de la suma de las raíces sin cálculo

Question

Una pregunta me pide que evalúe el valor máximo y mínimo de la siguiente función:

$$y=\sqrt{x}+\sqrt{27+x}+\sqrt{13-x}, 0\le x\le13$$

He intentado calcular y utilizando $$x=0,1,2,...,13$$ Creo que dicho máximo se produce en x=9, y que el valor mínimo se encuentra en los puntos límite, pero ¿cómo puedo demostrarlo sin cálculo?

Gracias.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial. Dejemos que $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{27+x}+\sqrt{13-x}$ para $0\leq x\leq 13$ . Tenga en cuenta que si $0\leq x< 13/2$ entonces $f(13-x)>f(x)$ ya que el primer y tercer término de $f(13-x)$ y $f(x)$ son los mismos (sólo intercambiados) y el segundo término de $f(13-x)$ es mayor. Así que $f(x)$ alcanza su mínimo en algún punto de $[0,13/2]$ y su máximo en algún lugar de $[13/2,13]$ .

En cuanto al mínimo, hay que tener en cuenta que $$(\sqrt{x}+\sqrt{13-x})^2=13+2\sqrt{x(13-x)}=13+2\sqrt{169/4-(13/2-x)^2},$$ así que $$f(x)=\sqrt{13+2\sqrt{169/4-(13/2-x)^2}}+\sqrt{27+x}.$$ Esto deja claro que $f(x)$ está aumentando en $[0,13/2]$ (ya que ambos términos son crecientes), por lo que el mínimo está en $x=0$ .

El máximo parece mucho más difícil de encontrar, y no sé cómo encontrarlo sin cálculo...

Answer 2

Desplazamiento de la función de la OP $9$ a la izquierda obtenemos una función de la forma $$g(x)=\sqrt{x+(n+1)^2}+\sqrt{x+\bigl(n(n+1)\bigr)^2}+\sqrt{n^2-x}.$$

Ahora es fácil demostrar sin cálculo simplemente elevando al cuadrado que $\sqrt{x+a^2}\leq \frac{1}{2a}x+a$ y $\sqrt{a^2-x}\leq-\frac{1}{2a}x+a$ para que sea positivo $a$ y $-a^2< x<a^2$ . La igualdad se produce si $x=0$ . Desde aquí

$$\sqrt{x+(n+1)^2}\leq\frac{1}{2(n+1)}x+n+1,$$ $$\sqrt{x+\bigl(n(n+1)\bigr)^2}\leq\frac{1}{2n(n+1)}x+n(n+1),$$ $$\sqrt{n^2-x}\leq-\frac{1}{2n}x+n.$$

Ahora, sumando los rendimientos $g(x)\leq n+1+n(n+1)+n$ con igualdad si $x=0$ .

De ahí que la función de la OP (con $n=2$ ) tiene su máximo global en $x=9$ de valor $11$ .

Answer 3

No sé si esto es suficientemente riguroso, pero se puede tomar la función y notar que cuando hay un máximo en el dominio de $[0,13]$ Como tenemos dos funciones crecientes y una decreciente sumadas, nuestra función sólo tiene un punto crítico (algo que observamos, no se ha demostrado), sin considerar los puntos extremos. Cuando dejamos que $x_0$ sea nuestro máximo observamos que $$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\begin{cases} >0 & \text{if }x<x_0 \\ <0 & \text{if }x>x_0 \end{cases} $$ Ahora, obviamente, si $x = x_0$ entonces esto es indefinido, pero si elegimos cualquier valor del lado izquierdo de $9$ , digamos que $8.5$ observamos que obtenemos un valor positivo, y para cualquier cosa del lado derecho, como $9.5$ terminamos con un valor negativo. Esto demuestra que $9$ es un máximo local.

Yo diría que el problema de esto es que no ha verificado que algún otro punto no sea también un máximo, pero creo que te encontrarás con ese problema mientras no estés considerando la derivada. Así que aunque no sea perfecto, es un buen comienzo.

El uso de esto es esencialmente mirando la pendiente de la línea antes y después de algún punto, que se puede argumentar que se está moviendo hacia el ámbito del cálculo, pero se mantiene lejos de las derivadas.

Edición: Si efectivamente creemos que sólo hay un punto crítico, encontrarás el mínimo en el punto límite como has dicho, así que simplemente comprueba los dos para encontrar qué punto es más pequeño.