¿Hay una manera rápida de encontrar los coeficientes en una expresión como$(ax^3+bx^2+cx+d)^3$?

Question

Podemos recaudar una suma de dinero que el poder de la $n$ rápida y fácilmente mediante el triángulo de Pascal, debido a que el teorema del binomio:

$$(a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^i b^i$$

Para cantidades de más de un término, todavía podemos hacer este tipo de cosas, utilizando coeficientes multinomiales. Por ejemplo:

$$(a+b+c)^n = \sum_{i,j,k \in \mathbb{N}}{n \choose i,j,k} a^i b^j c^k,$$

donde el coeficiente multinomial se supone que para ser $0$ si $n \neq i+j+k$.

Pero hay un problema relacionado con que no sé cómo hacer rápidamente. Supongamos que queremos elevar un polinomio univariado para la alimentación de $n$. Por ejemplo, supongamos que estamos tratando de encontrar

$$(ax^2+bx+c)^2.$$

Sería bueno tener una forma rápida de hacer esto. Hay una manera lenta, por supuesto: el uso de la multinomial y teorema de la recopilación de términos semejantes, podemos demostrar que esto es $$a^2 x^4+2ab x^3+(2ac+b^2)x^2+2bc x+c^2.$$

Esta fórmula es muy útil para lápiz-y-papel/de la aritmética mental. En particular, supongamos que estamos tratando de elevar al cuadrado un número de tres dígitos, como $431$. Deje $x=10$. Entonces:

$$431^2 = (4x^2+3x+1)^2 = 16 x^4+24x^3+17x^2+6x+1$$

$$= x^5+8x^4+5x^3+7x^2+6x+1 = 185761,$$ que la calculadora confirma la corrección de.

De todos modos, supongamos que quiero cubo de un cuatro dígitos, o algo así, sería bueno tener una forma de escribir la fórmula para $$(ax^3+bx^2+cx+d)^3$$ que es más rápido que usando el multinomial fórmula y, a continuación, cuidadosamente recogida de términos semejantes.

Pregunta. Hay una forma rápida de encontrar los coeficientes en una expresión como $(ax^3+bx^2+cx+d)^3$?

Answer 1

Si las raíces de$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ son$\alpha, \beta, \gamma$, entonces las raíces de$(ax^3 + bx^2 + cx+d)^3 = 0$ son,$\alpha, \alpha,\alpha, \beta, \beta, \beta, \gamma, \gamma, \gamma$. Tenemos$$(ax^3+bx^2+cx+d)^3 = a^3(x^9 - S_1 x^8 + S_2 x^7 - \cdots + (-1)^9S_9)$ $ donde$S_i$ es la suma de las raíces tomadas$i$ a la vez. Por ejemplo,$S_1 = 3(\alpha + \beta + \gamma) = -3b/a$ etc. No es difícil calcularlos. Tenemos

Answer 2

Hay una manera rápida de encontrar los coeficientes de la de menor orden de los términos, a saber, la expansión de Taylor alrededor de $x=0$. Junto con las reglas de diferenciación implícita, que puede conducir a un menor número de multiplicaciones y como potencia términos se recoge automáticamente. También, es generalmente ordenada y usted puede hacer aproximaciones después de hacer manipulaciones inteligentes. Usted también puede tratar de derivar de n-ésimo orden derivado de la expresión que tiene en su mente. Sin embargo, si se intenta obtener una mayor expresión general de la n-ésima potencia de un polinomio, usted obtendrá exactamente la multinomial teorema.

En este caso, el coeficiente de $x^0=d^3$ que se obtiene mediante el establecimiento $x=0$ en la expresión. El coeficiente de $x^1$ $3cd^2$ que se obtiene mediante el establecimiento $x=0$ en la primera derivada y así sucesivamente.

Answer 3

Si $p(x)$ es un polinomio, y $q(x) = p^n(x)$, a continuación, los coeficientes de $q(x)$ puede ser encontrado por un método Vi por primera vez (creo) en generatingfunctionology:

Diferenciar $q(x)$ y el uso que para obtener una de recurrencia para los coeficientes.

En este caso, $p'(x) = np'(x)p^{n-1}(x) $ así $p(x)q'(x) = np'(x)p^{n}(x) = np'(x)q(x) $.

Escrito $p(x) =\sum_{i=0}^d p_ix^i $ y $q(x) =\sum_{i=0}^{nd} q_ix^i $, tenemos $p'(x) =\sum_{i=0}^{d-1} (i+1)p_{i+1}x^i $ y $q(x) =\sum_{i=0}^{nd-1} (i+1)q_{i+1}x^i $.

La aplicación de la norma Cauchy producto $p(x)q'(x) = np'(x)q(x) $, e igualando las expresiones en cada lado de la los coeficientes de $x^m$, tenemos una periodicidad de el $q_i$.

Te dejo los detalles a los demás.

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(añadido posterior)

Esto también funciona para $e^{p(x)}$ y $\ln(p(x))$.

Si $q(x) =e^{p(x)}$ entonces $p'(x) = p'(x)e^{p(x)} =p'(x)q(x)$.

Si $q(x) =\ln(p(x))$ entonces $p'(x) =\dfrac{p'(x)}{p(x)} $ así $p'(x) = q'(x)p(x)$.

En ambos casos, estos llevan a una recurrencia de los coeficientes de $q(x)$.