Intentar definir topológicamente $\mathbb{R}^{0.5}$

Question

Hace un par de días, yo estaba tratando de generalizar la definición de Euclides espacios tratando de definir $\mathbb{R}^{0.5}$.

Pregunta: ¿hay un espacio métrico $A$ tal que $A\times A$ es homeomórficos a $\mathbb{R}$?

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Estoy interesado también en ver ejemplos de $A$ que son sólo espacios topológicos

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Edit: Si existe un espacio topológico $A$ tal que $A\times A\cong \Bbb R$, $A\times \{a\}$ es un subespacio de $A\times A$ ($a\in A$). Por lo tanto $A\times\{a\}$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}$, ya que el $A\cong A\times \{a\}$. Por lo tanto $A$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $A$ es metrizable.

Gracias

Answer 1

No, no hay ese espacio existe. Supongo que $A$ es un espacio topológico tal que $A\times A\cong \mathbb R$, con la euclidiana inducida por topología en $\mathbb R$. Si se desconecta la $A$ también lo es $A\times A$, pero que contradiría la conectividad de $\mathbb R$, por lo que deduce que $A$ está conectado. Pero, puesto que está conectado $A$ sigue que $A\times A$ con un solo punto quitado todavía está conectado. Sin embargo, $\mathbb R$ con un solo punto eliminado no está conectado. Contradicción.

Answer 2

Si $A \times A \simeq \mathbb{R}$ $A$ tiene que conectarse y es homeomorfa a un subespacio de $\mathbb{R}$ $A$ es homeomorfa a un intervalo. Por lo tanto, ya sea % o $A \times A \simeq [0,1]^2$ $A \times A \simeq (0,1)^2 \simeq \mathbb{R}^2$o $A \times A \simeq [0,1)^2$. Así, se puede homeomorfa a $A \times A$ $\mathbb{R}$.

Answer 3

Este fue concebido como un comentario sobre las respuestas anteriores, pero soy un usuario nuevo, por lo que no la tienen como una opción, por lo que deberá publicar como una nueva respuesta en su lugar.

Las otras respuestas aquí, muestran que la $\mathbb{R}$ no puede ser escrito como un "cuadrado" de este tipo. La situación no es diferente a la de la real número -1, que no puede ser escrito como una plaza de real números.

Pero se puede ampliar la real números para crear una raíz cuadrada de $-1$. Del mismo modo, se podría extender la noción de espacio topológico para crear una "raíz cuadrada" de $\mathbb{R}$. Una manera de hacerlo, en analogía con los números complejos, sería como sigue. Definir un "complejo topológico espacio" para ser un par ordenado $(A,B)$ de los espacios topológicos. Definir el producto directo de dos de estos pares ordenados por

$(A,B) \times (C,D)$ es igual a (distinto de la unión de $A\times C$$\mathbb{R}\times B \times D$, discontinuo de la unión de $A\times D$$B\times C$)

Identificar un espacio topológico $Y$ con el par ordenado $(Y, \varnothing)$.

A continuación,$(\varnothing$, de un punto de set$)\times (\varnothing$, de un conjunto de puntos) = ($\mathbb{R}$, conjunto vacío).